基于斜率的圆锥曲线新定义

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1、第!#卷第!期数学理论与应用Z*?C!#D*C!!""#年R月ST>UVST>HOT0>UVWX,TDYTPP0HOT>HWD:[2’C!""#!基于斜率的圆锥曲线新定义王伯年叶增明李国云（上海理工大学，上海，!"""#$）摘要为解决圆锥曲线对圆、椭圆、抛物线和双曲线统一的定义问题，可定义圆锥曲线是动点与二定点连线（或其中一连线为折线）斜率之积为定值的轨迹。此法不但较好地解决了圆锥曲线定义的不统一问题，而且数学推导也异常简单，有着明显的优点。此外，还论述了按此定义，用《几何画板》画各种圆锥曲线时，如何有效设置生成点的问题。关键词圆锥曲线定义的统一性双斜率之积几何画板生成点!"#$%&’%()"

2、)*)+"+(,+")-,./0%12345+6%1%&’()*’+&’,-.-’(/+’(0+12*32’（4’+5-67+83*9:;&’(;&+9*6:<+-’<-&’=>-<;’*?*(3，:;&’(;&+，!"""#$）721*/#-*@*6<+6;-8E*/*5+’(?+’-7E+8;7?*A-!G&’=!!&6-9*6/-=B3*’-/*5+’(A*+’8<*’’-<8+’(E+8;8E

3、*78&’=+’(A*+’87CH98;-A6*=2<8!*98;-8E*7?*A-7+7<*’78&’8，8;-?*<27E+??B-<*’+<<265-：!IG9*6-??+A7-，&’=!JKG9*6<+6;-=-6+5&8+*’*98;--N2&8+*’，&’=8;-9*6/*98;--N2&8+*’&6-5-637+/A?-C>;-(-’-6&8+’(A*+’8*9=6&E

4、+’(8;-<265-7B38;-’-E=-9+’+8+*’+7=+727-=+’=-8&+?C8%3&+/91O*’+<<265-74’+9+<&8+*’*9=-9+’+8+*’P6*=2<8*98E*7?*A-71-*/-8-6’77M-8<;A&=1-’-6&8+’(A*+’8自古至今，圆锥曲线一直在科学与技术中起着重要的作用，如公元前二世纪阿波罗尼奥的［G］［!］［$］《圆锥曲线论》名著，伽利略发现抛物的轨迹为抛物线，开普勒发现卫星的轨迹是椭圆，均对自然科学的形成与发展起到了十分重要的作用。时至今日，圆锥曲线更是火箭发射和人造卫星轨迹基础知识的组成部分。在圆锥曲线诸多重要问题中，其定义

5、对圆、椭圆、抛物线和双曲线的统一性问题，一直倍受［GK$］关注。在各种定义中，以从平面几何出发的最为简明，但存在定义不统一或有的曲线不能导出的问题，如在双焦点和准线—焦点的定义中，对椭圆、抛物线和双曲线的定义都不统一，而［Q］在准线—焦点和离心率的定义中，最简单的圆却无法导出，需将圆排除在定义之外。因此，!朱自强教授推荐收稿日期：!""年G!月GR日,#数学理论与应用探讨一种新的统一的圆锥曲线定义，是有其积极意义的。!基本方程的推导在图!中，直线!和直线"是二条动直线，各自有一个定点!（"，#）或!（"，#），此二条!!""动直线的交点为（#"，$）；在一定的条件下，此交点的轨迹可形成特定的

6、曲线，如圆锥曲线。图!二动直线的相交现设直线!的斜率为%，直线"的斜率为%，%与%的乘积为%，当%为定值时，点（#"，!"!"$）的轨迹是圆锥曲线。按照直线的斜率表达式，对直线!有：$$%（!"%"!）（!）对直线"有：$$%（""%""）（"）以上二式相乘，得到：""$$%［"%"（"!&""）&"!""］（’）上式的%$%!%"，%为二动直线的斜率之积。式（’）尚可进一步简化，如设""$%"!$&，式（’）变为："""$$%（"%&）（(）上式是很简单的二次代数方程，用它即可很简单地导出圆、椭圆和双曲线的方程。（!）%$%!时，生成圆此时，式（’）变为：""""&$$&（)）上式是圆的标准

7、方程，而且此时的&是圆的半径。（"）%*#时，生成椭圆此时，式（’）变为："""""+&&$（+%%&）$!（,）""如设’$%%&，上式变为："""""+&&$+’$!（-）基于斜率的圆锥曲线新定义-#上式是椭圆的标准方程，!是椭圆长轴之半，"是椭圆短轴长之半。（!）#"#时，生成双曲线此时，式（!）变为：$$$$$%!&%（%#!）’#（(）$$如设"’#!，上式变为：$$$$$%!&%%"’