《圆锥曲线》定义的“条件”教学

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1、《圆锥曲线》定义的“条件”教学　　《圆锥曲线》定义的“条件”教学　　　　新疆石河子高级中学尤乃奎　　　　【摘要】数学定义、定理、公式或问题中都或多或少涉及到条件的限制，做好数学知识的“条件”教学，对于学生透彻地理解数学理论、全面地解决数学问题大有帮助。　　　　【关键词】数学；定义；定理；公式问题；条件；教学　　　　2013年4月，在高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》（人教版）的教学中，当我讲椭圆、双曲线、抛物线的定义时，我都会遇到同样的一个问题，而且是学生每每质询的一个问题，那就是：“老师，定义

2、中括号里的条件该怎么解释？”　　　　数学定义、定理、公式或问题中都或多或少涉及到条件的限制，做好数学知识的“条件”教学，对于学生透彻地理解数学理论、全面地解决数学问题都非常有帮助，现在已经完成了高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》的教学，我觉得有必要把我在《圆锥曲线》定义教学中，关于定义中条件的教学片段梳理一下。　　　　《圆锥曲线》“条件”教学片段一：椭圆定义中的条件限制　　　　讲到2.2.1节《椭圆及其标准方程》时，椭圆的定义（课本第38页）是：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于

3、

4、F1F2

5、）的点的轨迹叫做椭圆。　　　　学生问：老师，为什么定义中括号里要加一个条件“大于

6、F1F2

7、”）呢？　　　　教师答：因为如果去掉这个条件，则定义所表示的图形将不一定是椭圆。　　　　学生问：为什么？　　　　教师答：这个问题可以从三个角度理解：　　　　①如果条件是“大于

8、F1F2

9、”，则定义叙述的内容表示椭圆，这毫无疑问，正如我们用小绳子按住两头所演示的一样。　　　　②如果条件是“等于

10、F1F2

11、”，则定义叙述的内容表示线段F1F2。（我在黑板上划线段F1F2，并取其上一点P,并演示

12、PF1

13、+

14、

15、PF2

16、=

17、F1F2

18、,学生点头表示理解）。　　　　③如果条件是“小于

19、F1F2

20、”，则定义叙述的内容不表示任何图形，即动点轨迹不存在。（我在黑板上演示，显然

21、PF1

22、+

23、PF2

24、﹤

25、F1F2

26、不能产生任何图形）。　　　　进一步，我用三个小问题进行巩固：　　　　问题：试判断以下情况动点的轨迹：　　　　（1）到两定点F1（-7,0），F2（7,0）的距离之和大于14的点的轨迹是什么？　　　　（2）到两定点F1（-7,0），F2（7,0）的距离之和等于14的点的轨迹是什么？　　　　（3）到两定点F1（-7

27、,0），F2（7,0）的距离之和小于14的点的轨迹是什么？　　　　学生很快就可以得出结论。　　　　《圆锥曲线》“条件”教学片段二：双曲线定义中的条件限制　　　　很有戏剧性，讲到2.3.1节《双曲线及其标准方程》时，其境遇竟然和讲椭圆的定义时，惊人的相似。　　　　双曲线的定义（课本第52页）是：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于

28、F1F2

29、）的点的轨迹叫做双曲线。　　　　学生问：老师，为什么定义中括号里要加一个条件“小于

30、F1F2

31、”呢？　　　　教师答：因为如果去掉这个条件，则定义

32、所表示的图形将不一定是双曲线。　　　　学生问：为什么？　　　　教师答：这个问题可以从三个角度理解：　　　　①如果条件是“小于

33、F1F2

34、”，则定义叙述的内容表示双曲线，这毫无疑问，正如我们用拉链按住两头所演示的一样。　　　　②如果条件是“等于

35、F1F2

36、”，则定义叙述的内容表示以F1、F2为端点的两条射线（包含端点）。（我在黑板上划出直线F1F2，并在点F1、F2两侧各取两点P、Q,并演示

37、PF1

38、-

39、PF2

40、=

41、F1F2

42、,指出动点的轨迹是射线F1P、F2Q，学生点头表示赞同）。　　　　③如果条件是“

43、大于

44、F1F2

45、”，则定义叙述的内容不表示任何图形，即动点轨迹不存在。（我在黑板上演示，显然

46、PF1

47、-

48、PF2

49、﹥

50、F1F2

51、不能产生任何图形）。　　　　同样，我给出三个小问题加以辨别：　　　　问题：试判断以下情况动点的轨迹：　　　　（1）动点P到两定点F1（-7,0），F2（7,0）的距离之差的绝对值小于14的点的轨迹是什么？　　　　（2）动点P到两定点F1（-7,0），F2（7,0）的距离之差的绝对值等于14的点的轨迹是什么？　　　　（3）动点P到两定点F1（-7,0），F2（7,0）的距离之差的

52、绝对值大于14的点的轨迹是什么？　　　　学生也可以很快得出结论。　　　　然后，我又给出两个问题：　　　　条件改为“

53、PF1

54、-

55、PF2

56、﹤14”，动点的轨迹又会怎样呢？　　　　若条件改为“

57、PF2

58、-

59、PF1

60、

61、﹤14”，动点的轨迹又会怎样呢？　　　　学生结合双曲线的图形，很容易判断是：双曲线的左支和右支。　　　　《圆锥曲线》“条件”教学片段三：抛物线定义中的条件限制　　　　讲到2.4.1节《抛物线及其标准方程》一课时，同样遇到了“条件”问