圆锥曲线定义的应用

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1、圆锥曲线定义的应用高三复习备考后期提倡回归课本，抓住课本基本知识点，利用它解决有关数学问题，已是高考经常出现的题型。圆锥曲线的定义的应用在高考题每年必考。现将与圆锥曲线定义有关的题型总结如下：　　一、利用定义求曲线方程　　例1:[2008年湖北]如图，在以O为圆心，

2、AB

3、=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足

4、

5、MA

6、-

7、MB

8、

9、为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P。　　　　(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程。　　解析：以O为原点，AB

10、、OD所在直线为x轴，y轴建平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D（0，2），P（，1）。　　∵点P在曲线C上，∴

11、

12、MA

13、-

14、MB

15、

16、=

17、PA

18、-

19、PB

20、＜

21、AB

22、=4　　∴由双曲线定义知：曲线C是A、B为焦点的双曲线　　设双曲线方程为：-=1（a＞0,b＞0）　　则由得∴曲线C的方程为　　评注：此题主要考查双曲线的第一定义。　　练习一：1、已知：双曲线过A（-2，4）和B（4，4），它的一个焦点为F（1，0），则它的另一个焦点轨迹方程是：_________。　　2、动圆过定点(-4

23、,0)与圆（x-4）2y2=16相外切，则动圆的圆心的轨迹方程是：_________。　　3、在平面直角坐标系中，若方程m（x2y22y1）=（x-2y3）2表示的曲线为椭圆，则实数m的取值范围是（）　　A（0，1）B（1，∞）C（0，5）D（5，∞）　　二、利用定义求圆锥曲线的离心率　　例2[2009全国Ⅱ]已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F且斜率为的直线交曲线C于A、B两点，若=4，则曲线C的离心率为（）　　A、B、C、D、　　解析：设双曲线的右准线为L，过A、B分别作的

24、垂线，垂足是A＇B＇，得直角梯形AA＇B＇B，∵=4，∴

25、

26、=4

27、

28、，记

29、

30、=m＞0，则

31、

32、=4m。　　由双曲线第二定义知：

33、AA＇

34、=，

35、BB＇

36、=，∵直线AB的斜率为，∴∠A=，∴cosA===∴e=　　评注：此题主要考查了双曲线第二定义，利用平面几何知识解决问题，突出数形结构思想，转化思想的应用。　　练习二：1、已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，在双曲线左半支上存在点P，使

37、PF1

38、是P到L的距离d和

39、PF2

40、的比例中项，则离心率e的取值范围为（）　　A、[1，∞）B

41、、[1，1）　　C、（1，1]D、[1，∞）　　2、已知F1、F2是椭圆C的两个焦点，P为椭圆上一点，且P到一条准线的距离是

42、PF1

43、、

44、PF2

45、的等差中项，则椭圆C的离心率e的取值范围为_________。　　3、[08年湖南]若双曲线-=1（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围为（）　　A（1，2）B、（2，∞）C（1，5）D（5，∞）　　4、[2009年江西卷]过椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点p，F2为右焦点，若∠F

46、1PF2=600，则椭圆的离心率为（）　　A、B、C、D、　　三、利用定义求值（最值）　　例3、已知F是椭圆=1的左焦点，P是此椭圆的动点，A（1，1）是一定点。　　　　（1）求的最小值，求点P的坐标。　　（2）求的最大值和最小值。　　解析：e=，过点P作PQ垂直于左准线于Q，由椭圆第二定义知：e==,则=所以=　　故当A、P、Q三点共线时，最小，最小值为1=，此时，P（-，1）。　　（2）设点F1为椭圆右焦点，由椭圆第一定义知：=6　　所以，=6-=6(-)　　由三角形边的不等关系和绝对值不等式

47、性质知:　　-≤

48、

49、-

50、PF1

51、≤

52、AF1

53、（当P、A、F共线　　时等号成立）　　　　∴-≤6，≥6-　　点评：（1）考查椭圆第二定义，利用数形结合思想，转化为三点共线求最值。　　（2）考查椭圆第一定义，利用数形结合思想，转化为三点共线求最值。　　练习三1、[2009辽宁卷]已知F是双曲线-=1的左焦点A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则的最小值为　　2、[2009年四川卷]已知直线L1：4x-3y6=0和直线L2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线L1和直线L2的距离之和最小值为（）

54、　　A、2B、3C、D、　　3、[2008年天津卷]设椭圆=1（m＞1）上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为（）　　A、6B、2C、D、　　4、[2008年四川卷]已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且=,则△AFK的面积为（）　　A、4B、8C、16D、32　　5、[2008辽宁卷]已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）　　A、B、3C、D、　　答