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《高中数学第三章空间向量与立体几何32空间向量在立体几何中的应用321-322素》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示课堂探究探究一利用向量方法判定线、面的位置关系解答这类问题的关键：一是要清处直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法.【典型例题1】(1)设曰，b分别是两条不重合的直线人，/2的方向向量，根据下列条件判断厶，＜2的位置关系：®a=(2,3,—1),b=(—6,—9,3)；②a=(5,0,2),b=(0,4,0).(2)设〃，/分别是两个不重合的平面〃的法向量，判断"，Q的位置关系：®u=(1,—1,2),u=(3,2,-》；②"=(0,3,0),v=(0
2、,—5,0).⑶设〃是Q的法向量，$是直线/的方向向量，判断/的位置关系：①u=(2,2,-1),£=(一3,4,2)；②u=(0,2,—3),a=(0,—&12).解：⑴①(2,3,-1),0=(—6,-9,3),a=-如,:.a〃b,7i//h.②(5,0,2),b=(0,4,0),.*.a•b=0,・Sa丄b,.•.Z丄,2.(2)®Vu=(1,—1,2),v=(3,2,—灯，u•r=0,：・u丄v,・'.a丄0.②Vu=(0,3,0),v=(0,—5,0),3・・・“=_尹・・・"？，・・,//0.(3)①Vu=(2,2,-1),8=(—3,4,2),・u•a=0,：・u丄a,1/
3、/o或/ua.②Vu=(0,2,-3),a=(0,一&⑵,探究二平面法向量的求法求平而的法向量，一般采用待定系数法求解，关键是在平面内找到两个不共线向量，列出方程组，取其中一个非零向量的解即可.【典型例题2】已知三点水1,0,1),>9(0,1,1),01,1,0),求平面個7的一个法向量.思路分析：设平ifiJ*ABC的一个法向量为刀，则刀垂直于平面S死内的任意向量，不妨取AB.BC.然后将向量垂直转化为数量积为0,求得力.解：设平面也滋的一个法向量为n—{x,y,z),由题意得乔=(一1,1,0),反、=(1,0,-1).因为〃丄為，刀丄恋所以］_.27•BC=X—Z=Q.令x=l,得y
4、=z=l,所以平面力腮的一个法向量为27=(1,1,1).归纳求法向量的步骤为：(1)设法向量n=lx,y,z)；(2)在已知平面内找两个不共线向量日=(自1,日2,自3),b=(A,bi,&)；n•a=ax+^y+a^z=0,(3)建立方程组<,.「「An•b=bX十&尸十5忆=0；(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用來表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的法向量.探究三利用向量法证明空间屮的平行关系用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行：(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理.(2)利用直线的方向向
5、量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点.(1)关于直线与平面平行、平面与平面平行的证明，还可以利用直线方向向量与平面法向量垂直来证明线面平行，用两平面的法向量平行来证明两平面平行.【典型例题3】如图所示，在正方体ABCD~中，饥N分别是GC,的中点.求证：拠V〃平面川劭.思路分析：证明线面平行有三种方法：一是线面平行的判定定理，二是直线的方向向量与平面的法向量垂直，三是共面向量定理.证法一：•?GN-GM=^Q^~^QC=*（必-励）=*页,・•・MN//DAx,:.MV〃平面A.BD.证法二：如图，以〃为原点，DA,DC,勿所在直线分别为x轴、
6、y轴、2轴建立空间直A(
7、,1,1I，〃(0,0,0),A(1,0,1),角坐标系，设正方体的棱长为1,则可求得』（0,1,k貿2〃(1,1,0),于是必歹=(*,0,
8、匕Z）,—―Iy+z=0,则皿=0,且240,得［卄尸0.取x=l,得y=—1,Z=—1.j・(1,一1,—1)=0,••n=(1,—1,—1).又MN・z?=l0,MN//平面AxBD.证法三：GN-=*(厉+前_*(必+尬=詠+訥-拆-抑=詡+莎+*(厉一励=拇+莎+*场=莎+0•DB.即庞可以用鬲与励线性表示,・••疏与鬲，扇是共面向量,・・・MN//平面川肋，即MN//平面A-BD.探究四向量法证明垂直关系证两直线垂
9、直可转化为证两直线的方向向量垂直.(1)把两直线的方向向量用相同的几个向量表示岀來，然后证明向量的数量积等于0即可，这是用向量证明线线垂直的基本方法.(2)可建立适当的坐标系，并正确求出各点及相关向量的坐标，再证明两个向量的数量积为0.向量法证明线而垂直，则是通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来证明.而证两平面垂直则是通过证明两平面的法向量垂直来完成.【典型例题4】如图，在四棱锥P-ABCD中，以丄底面
