高中数学第三章空间向量与立体几何32空间向量在立体几何中的应用321-322教

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1、3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示预习导航1.用向量表示直线或点在直线上的位置(1)直线的方向向量给定一个定点〃和一个向量日，再任给一个实数口以畀为起点作向量AP=ta,这时点戶的位置被乃的值完全确定.当方在实数集R中取遍所有值吋，点戶的轨迹是通过点力且壬行于向量a的一条直线I,向量日称为该直线的方向向量.(2)空间直线的向量参数方程点/为直线/上的一个定点，a为直线Z的一个方向向量，点戶为直线/上任一点，t为一个任意实数，以/为起点作向量AP=ta.①对空间任一个确定的点0,点户在直线/上的充要条件是存在唯二的实数十,满足等式

2、厉=0A+la.②如果在/上取繭=爲，则②式可化为0P=~0A+tAB=~0A+t(OB-OA),即胪=(1一十)励+汤•③以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同.(1)线段AB的中点M的向量表达式设。是空间任一点，〃是线段初的中点，则荷=£(励+励.思考1空间一条直线的方向向量唯一吗？提示：不唯一.1.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行(1)直线与直线平行设直线厶和的方向向量分别为刃和陀，则厶〃,2或厶与丿2重合U>Vj/V1，(2)直线与平面平行已知两个不共线向量刃，陥与平面Q共面，一条直线/的一个方向向

3、量为r,则1//a或/在。内O存在两个实数x,y,使v=xv}+yvi.(3)平面与平面平行已知两个不共线的向量旳，陀与平面Q共面，则a//p或a与0重合U>vj/0,且陀〃0.思考2如何用向量的方法证明空间中的平行关系？提示：空间中的平行关系本质上是线线平行，根据共线向量定理，只需证明直线的方向向量a//b.即4A(4eR).此外，证明线面平行也可用共面向量定理，即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.2.用向量运算证明两直线垂直或求两直线所成的角(1)设两条直线所成的角为〃，则直线方向向量间的夹角与B相等或互补;(2)设直线Z和Z的方向向量

4、分别为旳和陀，直线厶与Z的夹角为0,则厶丄孔0V、丄巾，cos0=

5、cos〈刃，胞〉

6、.思考3两直线所成的角与这两直线方向向量的夹角有何关系？提示：两直线方向向量的夹角为锐角时，两直线所成的角与其相等，两直线方向向量的夹角为钝角时，两直线所成的角与其互补.3.平面的法向量及其应用思考4一个平面的法向量是否唯一？提示：不唯一，一个平面的法向量有无数多个.1.三垂线定理及三垂线定理的逆定理三垂线定理：如果在壬直内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：如杲平血内的一条直线和这个平血的一条魁线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射

7、影垂直.思考5三垂线定理及其逆定理有何区别与联系？提示：联系：都是一面四线，三种垂直关系.区别：①从条件或结论上看，三垂线定理是“线与射影垂直=＞线与斜线垂直”，而逆定理恰好相反；②从作用上看，三垂线定理是“共面直线垂直=＞异面直线垂直”，而逆定理恰好相反.