高中数学第二章平面向量23平面向量的数量积231向量数量积的物理背景与定义课堂导学

高中数学第二章平面向量23平面向量的数量积231向量数量积的物理背景与定义课堂导学

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1、2.3.1向量数量积的物理背景与定义课堂导学三点剖析一、平面向量的数量积关于向量的数量积,注意:(1)我们不说两个向量的积,而说是它们的数量积或者内积;(2)规定:零向量与任一向量的数量积为0;(3)两个向量的数量积是一个数量,向量a、b的数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关;(4)向量的数量积的结果是一个数量,可以等于正数、负数、零,而向量的加法和减法的结果还是一个向量;(5)两个向量的数量积是两个向量之I'可的一•种乘法,与以前学过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,当屮的“•”不能省略;⑹当〈a,b〉

2、为锐角时,a・b>0;当〈a,b〉为直角时,a・b二0;当〈a,b〉为钝角时,a・b〈0;(7)有些向量的数量积有一定的含义,如向量F、s的数量积,就是力F移动位移s所做的功.【例1】已知

3、a

4、=4,

5、b

6、=5,且a与b的夹角为60。.求:(1)a・b;(2)(a+b)2;(3)(a-b)2;(4)a-b2.思路分析:利用两向量数量积公式a•b=

7、a

8、

9、b

10、cos()、

11、a

12、2=a2及运算律计算.解析:(1)a•b=

13、a

14、

15、b

16、cos9=4X5Xcos60°=10.(2)(a+b)2=a2+2a•b+b2=42+2X10+5=61

17、.(3)(a~b)2=a2-2a•b+b2=

18、a

19、2~2

20、a

21、

22、b

23、cos0+

24、b

25、2=42~20+52=21.(4)a2-b2=

26、a

27、2-

28、b

29、2=4z-52=-9.类题演练1已知

30、a

31、=4,

32、b

33、二5.当(1)a//b;(2)a丄b;(3)a与b的夹角为30°时,分别求a与b的数量积.思路分析:确定夹角0运用数量积的公式列式求解.解:(1)a//b.若a与b同向,则0=0,a•b=

34、a

35、

36、b

37、cos0°=4X5=20.若a与b反向,则0=180°,a・b=

38、a

39、

40、b

41、cosl80°=4X5X(-l)=-20.⑵当a±b时,0=

42、90°,a•b=

43、a

44、bcos90°=0.(3)当a与b的夹角为30。时,a・b=

45、a

46、

47、b

48、cos30°=10^3.变式提升1在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=2V2,求忑・CA.思路分析:要求AB.CA,关键是确定与CA的夹角.解:如图(1),在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=2V2,所以直角边:.AB

49、=2,

50、AC1=272.如图(2),AB与AC的夹角ZBAC=45°,Z.AB・CA=AB・(—AC)二一(AB・AC)1AB

51、

52、AC

53、cosZBAC=-2X2^2cos45°-X2屁齐二、两向量的夹角关于两向量的夹角,

54、注意:⑴已知两个非零向量a、b(如图所示),作OA=a,OB=b,则ZAOB称为向量a与向量b的夹角,记作〈a,b〉・(2)两向量夹角的范围是[0,n],且〈a,b〉=(b,a).JT(3)当〈a,b〉二一时,称向:Sa与向量b互相垂直,记作a丄b.规定零向量与任一向量垂直.2⑷当〈a,b〉二0时,a与b同向;当〈a,b〉=Ji时,a与b反向.【例2】已知单位向量&、e?的夹角为60°,求向量a二2e.+e:?与b二2e2-3&的夹角e.思路分析:注意单位向量的模是1这个隐含条件.解:Tei・e2=

55、e:

56、

57、e2〔cos6(T二c

58、os60°二一,2,7a•b=(2ei+e2)•(2e2—36i)=—6ei2+ei•e2+2e2?=.2Xa2=(2ei+e2)2=4ei2+4ei•e2+e22=7,b2=(2e2~3ei)2=4e22~12ei•e2+9ei2=7.-7

59、a

60、=

61、b

62、=V7,贝!Jcos0==厂_—=-—,a\bV2xV72又TOW6Ji,z.e=-Ji.3类题演练2已知

63、a

64、=5,

65、b

66、二4,且a・b二TO,求a与b的夹角8.思路分析:用夹角公式,即数量积公式变形.解:cosO=-^P-=二^二-丄,又ee[0,叮,e=—.a\b

67、5x423变式提升2在厶ABC屮,AB=a,BC=b,且a・b>0,则AABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析:由两向量夹角的概念,a与b的夹角应为180°-ZB.因为a•b=

68、a

69、bcos(180°-B)=-1a

70、

71、b

72、cosB>0,所以cosB<0.又因为Be(0°,180°),所以角B为钝角.所以AABC为钝角三角形.答案:C温馨提示此题主要考査两向量夹角的概念,应避免a・b=

73、a

74、

75、b

76、cosB>0得cosB>0,进而得角B为锐角,从而无法确定,错选D.三、向量在轴上的投影这部分内容要注意

77、:⑴已知向量a和轴1(如图所示),作鬲二a,过点0、A分别作轴1的垂线,垂足分别为0、A.,则向量0同叫做向量a在轴1上的正射影(简称射彫).A(2)a在轴1上的正射影,称作a在轴1上的数量或在轴1的方向上的数量,记作a,a=

78、a

79、cosa.⑶射影

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