2017_2018学年高中数学第二章平面向量231向量数量积的物理背景与定义232向量数量

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1、2.3.1-2.3.2向量数量积的物理背景与定义向量数量积的运算律(1)两向量的夹角是如何定义?(2)向量在轴上的正射影定义是什么?(3)怎样定义向量的数量积?向量的数量积与向量数乘相同吗?(4)向量数量积的性质有哪些?(5)向量数量积的运算律有哪些?[新知初探]1.向量的夹角与正射影(1)向量的夹角.定义己知两个非零向量乩b,作0A=日,OB=b,^ZAOB称作向量刃和向量方的夹角,记作〈日,力〉范围0W〈臼,方〉W兀垂直JI当〈日,力=2■时,我们说曰与力垂直,记作曰丄力规定零向量与任意向量垂直[点睛]当日与力共线同向时,夹角〃为0°,共线反向时,夹角〃为

2、180°,所以两个向量的夹角的范围是0°W〃W180°•(1)向量在轴上的正射影.已知向量&和轴厶如图.①正射影的概念:作丽=爲,过点。,弭分別作轴/的垂线,垂足分别为久则向量

3、巧瓦

4、叫做向量日在轴/上的正射影(简称射影).②正射影的数量:该射影在轴/上的坐标,称作m在轴/上的数量或在轴/的方向上的数量.丽=日在轴/上正射影的坐标记作②,向量日的方向与轴/的正向所成的角为°,则由三角函数中的余弦定义有创="Icos0.[点睛]向量〃在轴上的射彫是一个向量,英在轴上的坐标为数量,其数值可正、可负、可为零;当〃为锐角吋,该数量为正值;当〃为钝角吋,该数量为负值;当〃

5、为直角吋,该数量为0;当〃=0。时,该数量为

6、引;当"=180。时,该数量为一

7、引.1.平面向量数量积(内积)的定义及性质(1)定义:丨日

8、“

9、cos〈日,方〉叫做向量日和Z?的数量积(或内积),记作a•b.[点睛](1)两向量的数量积,其结果是数量,而不是向量,它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积,其符号由夹角的余弦值來决定.(2)两个向量的数量积记作a•b,千万不能写成白Xb的形式.(2)性质.①若e是单位向量,则e•a=a•e=

10、^

11、cos〈&,e〉・②若&丄方,则a•b=0;反Z,若曰•力=0,则&丄力,通常记作$丄始日•方=0.(曰,b均不为零

12、向量)③々•a=

13、a2,即

14、自

15、a■b④cos〈的b)=~i_(a

16、b7^0).a\b⑤对任意两个向量臼,b有1$・方

17、W

18、白

19、・

20、方

21、,当且仅当a//b吋等号成立.[点睛]对于性质②,可以用来解决有关垂直的问题,即若要证明某两个向量垂直,只需判定它们的数量积为0;若两个非零向量的数量积为0,则它们互相垂直.1.向暈数暈积的运算律⑴日・b=b・日(交换律).(2)久(日•力)=(久日)•方=日•(A/?)(结合律).(3)(日+力)・c=a・c+b•c(分配律).[点睛](1)向量的数量积不满足消去律:若白,b,C均为非零向量,且3・c=b・c,但得

22、不到a=b.(2)(曰•方)・c#a•(方・c),因为自•方,b・c是数量积,是实数,不是向塑,所以(日•力)・c与向量c共线,a•(Z?・c)与向量日共线,因此,(日•Z?)•c=a・(b*c)在一般情况下不成立.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“丁”,错误的打“X”)(1)两个向量的数量积仍然是向量.()(2)若a・b=b・c,则一定有a=c.()(3)若日,方反向,则a*b=—

23、

24、

25、Z?

26、.()(4)若a•Z?=0,则自丄方.()答案:(1)X(2)X(3)V(4)X2.若向量日,方的夹角为30°,则向量一臼,一方的夹角为()A.60°

27、B.30°C.120°D.150°答案:B3.已知

28、胡=10,

29、方

30、=12,且(3曰)・(右"=一36,则白与方的夹角为()A.60°B.120°C.135°D.150°答案:B4.已知曰,〃的夹角为",丨引=2,丨引=3.⑴若〃=135°,则a・b=;⑵若a//b,则a•b=;(3)若臼丄方,则a•b=.答案:(1)—3住(2)6或一6(3)0[典例]⑴已知向量日与力的夹角为120°,且

31、日

32、=4,

33、力

34、=2,求:①Q・b;②(日+方)•(日一2力).(2)如图,正三角形的边长为頁,

35、Ab

36、=c,

37、bQ=日,

38、ca

39、=5,求a•b+b*c+[解]②(日+力)・

40、@一2力)=/一日・5—2川=16—(一4)—2X4=12.⑵•:a=b=c=^2,且臼与力,b与c,c与臼的夹角均为120°,・•・$・b+b・c+c・&=、fix£xcos120°X3=-3.向量数量积的求法(1)求两个向暈的数暈积,首先确定两个向暈的模及向量的夹角,其屮准确求出两向量i■的夹角是求数量积的关键.i(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.:……[话孝话用了1.已知

41、引=3,丨引=4,臼与b的夹角为120°,求:(1)白•b;(2)a—lj;—6.(3)(2曰一方)•(曰+3方).解:(l)a

42、•b=a

43、Z?

44、co

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