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《高中数学第二章平面向量23平面向量的数量积231向量数量积的数学背景与定义课堂探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.3.1向量数量积的物理背景与定义课堂探究探究一与数量积有关命题的判断两向量方向相同时，夹角为0(或0。)；而反向时，夹角为兀(或180°)；两向量垂直时，夹角为兰(或90°),因此当两向量共线时，夹角为0或兀，反过来，若两向量的夹2角为0或兀，则两向量共线.【例1】已知曰，方，c是三个非零向量，则下列命题中正确命题的个数为()①
2、a•b=a•
3、b^a//b；②a,〃反向b=—a•b；③$丄戻打a+b=Ia~b；④a=b^a9c=b•c.A.1个B.2个C.3个D.4个
4、解析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.①中因为a*b=a•b•cos0,所以由
5、a•b=a•b反a,b为非零向量可得
6、cos0
7、=1,所以〃=o或Ji,所以a//b,且以上各步均可逆，故命题①是真命题；②屮若〃反向，则&的夹角为"，所以a*b=a•
8、A
9、cosn=-
10、a
11、・
12、方I，且以上各步均可逆，故命题②是真命题；③中当$丄b时，将向量曰，b的起点确定在同一点，以向量日，方为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于
13、是它的两对角线长相等,即有a+b=a-b.反过来,若a+b=a-b,则以a,方为邻边的四边形为矩形，所以有a丄方，因此命题③是真命题；④屮当a=b但力与c的夹角和b与g的夹角不等时,就有
14、a・c
15、H
16、b・c,反过来由
17、a・c=b*c
18、也推不出
19、a
20、=
21、〃
22、.故命题④是假命题.答案：C探究二求向量的正射影或数量积向量的数量积和正射影都是一个实数，它可正、可负，也可为零，其符号取决于两向量之间的夹角.因此在正确理解正射影及数量积定义的同时,找准两个向量之间的夹角是关键，确定两个向
23、量的夹角时，一-定要注意“共起点”这一前提条件.【例2】如图所示，在羽册中，
24、A3
25、=4,丨AD
26、=3,Z刃〃=60°,求：(1)15•反;(2)AB•而;(3)•丽；(4)AB在面方向上的正射影.解：(1)因为AD//BC,且方向相同,所以而与说的夹角是0°,所以而・~BC=~AD\~BCcos0°=3X3X1=9.(2)因为AB//CD,且方向相反，所以屈与丽的夹角是180°,所以殛・CD=
27、AB
28、
29、CD
30、cos180°=4X4X(—1)=—16.(3)因为而与丽的夹角为60°,所以AB与D4的夹
31、角为120°,一一一一(n所以AB•DA=
32、ABIIDA
33、cos120°=4X3X——=—6.I2丿(4)因为农与而的夹角为60°,而质与丽方向相反，所以亦与西的夹角为———(C120°,所以AB在CB方向上的正射影为
34、AB
35、cos120°=4X一一=一2.<2丿反思两向量夹角的范围是[0°,180°],当两向量平行时，夹角可能为0。(同向时)或180。(反向时).若而与乔的夹角为0,则期与丽的夹角是180。一0.探究三向量数量积的性质求向量的夹角应用数量积的变形公式cos,一般要求两个整体a•b,不方便
36、求出时，可寻求两者之I'可的关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观地得出.【例3】已知力，b是两个非零向量.⑴若
37、a
38、=3,
39、Z?
40、=4,a•引=6,求日与b的夹角；(2)若a=b=a—b,求$与a+b的夹角.分析：利用向量数量积的公式或向量的儿何意义求解.解：⑴因为a•b=a\bcos〈a,方〉，所以a•b=\a
41、Z>
42、cos〈a,b)=
43、a
44、
45、j6
46、Icos{a,b)=6.又
47、a
48、=3,
49、Z>
50、=4,所以Icos〈a,b)所以c",方〉=±
51、.7T2/T因为
52、〈a,必［0,叮，所以切的夹角为护亍⑵如图所示，在平面内取一点0,作OA=a,OB=b,以刃，西为邻边作平行四边形创個^OA=OB9所以四边形创仍为菱形，殖平分AAOB.这时OC=a+b,BA=a~b.fh于a=b.=a~b,即
53、OA
54、=
55、OB=
56、AB,jrjr所以AAOC——,即日与a+b的夹角为一.66探究四易错辨析BC=8,CA
57、=10,则殛・BC易错点：因未分清夹角而致误【例4】已知平面上三点A,B,C满足
58、人8丨=6,+BC•CA+CA•4B的值等于(A.100B・96
59、C.-100D.-96错解：由题意知ABVBC.AB•BC+BC・CA+CA・AB=0+8X10X-+536X10X)=100.选A.5错因分析：向量的夹角理解错误.正解：由题意，可得连接儿B.C三点可构成直角三角形，且〃=90°•所以殛•BC+BC-CA+CA-AB=0+CA-(AB+BC)=CA-AC=-ICA12=—100.
