空间向量在几何证明题解法

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1、空间向量在几何体中例题1如图，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点。（1）求证：EF⊥CD；（2）证明：PA//平面DEF3．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。（Ⅰ）证明：面面；（Ⅱ）求与所成的角；（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。616．（本题满分14分）求ax2+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件。6．（本题满分14分）解:若方程有一正根和一负根，等价于a＜0若方程有两负根，等价于0＜a≤1综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a

2、＜0或0＜a≤1由以上推理的可逆性，知当a＜0时方程有异号两根；当0＜a≤1时，方程有两负根故a＜0或0＜a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件所以ax2+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件是a＜0或0＜a≤15．如图，在长方体，中，，点在棱上移（1）证明：；（2）当为的中点时，求点到面的距离；（3）等于何值时，二面角的大小为.解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则（1）（2）因为为的中点，则，从而，，设平面的法向量为，则也即，得，从而，所以点到平面的距离为6（3）设平面的法向量，∴由

3、令，∴依题意∴（不合，舍去），.∴时，二面角的大小为.6．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，.已知求（Ⅰ）异面直线与的距离；（Ⅱ）二面角的大小.解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系.由已知可得设由，即由，又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线,的距离为.（Ⅱ）作，可设.由得即作于，设，6则由，又由在上得因故的平面角的大小为向量的夹角.故即二面角的大小为7．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：MN⊥平面PCD.(12分)8．如图2，正三棱柱的底面边长

4、为，侧棱长为，求与侧面所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则．由于是面的法向量，6．故与侧面所成的角为．9．如图3，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，求点到平面的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，则．从而．由，得，则．自作面于，并延长交面于，设，则．又，．由得．又．10．（本题满分15分）直线：与双曲线：相交于不同的、两点。6（1）求AB的长度；（2）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过坐标第原点？若存在，求出的值；若不存在，写出理由。10解：联立方程组消去y得，

5、因为有两个交点，所以，解得。(1)。(2)由题意得整理得6