法向量在空间几何中的作用

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1、天堑变通途——法向量在空间几何中的作用在新课标《数学》（选修1-2）中，给出了平面的法向量的定义，但却没有作详细的解释和应用，而偏偏法向量在空间几何中扮演着一个非常重要的角色。法向量的应用打破了空间几何的传统解法，它可以减少大量的辅助作图以及对图形的分析、想象，直接使用代数运算来解决空间几何中的距离和角的大部分问题。本文就法向量的重要应用作简单讲述，希望能起到抛砖引玉的作用，使读者能更好的挖掘法向量的作用！一、法向量的含义在新课标《数学》（选修1-2）第112页中提到：直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量。由定义可知，法向量并不是唯一的，由于直

2、线的任意性，以致只要是与平面互相垂直的向量都可以作为平面的法向量，因此，在选取法向量的时候，应尽量选取方便计算的一个法向量。二、法向量在空间几何中的应用AQP1、点到面的距离结论：（如图所示）设点P在平面外，点A是平面内的任意一点，是平面的一个法向量，则点P到平面的距离。yYxDFAEBCGz例1、已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。解：以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CG所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示。则B（0，4，0），E（

3、2，4，0），F（4，2，0），G（0，0，2），于是，设是平面EFG的一个法向量，则所以有解得：即，不妨取又因为所以点B到平面EFG的距离注：DBECA2、异面直线间的距离结论：（如图所示）设是异面直线，向量满足，点C、D分别是直线上的任意一点，则异面直线的距离。例2、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，求异面直线A1C1与AB1的距离。xABCyB1DA1D1zC1解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示。不妨设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，

4、1），C1（0，1，1）于是设则由，得，解得x=y=z，则，不妨取又因为所以，异面直线A1C1与AB1的距离注：向量的两个端点必须分别是两条异面直线上的一个点。3、线面所成的角BA结论：平面外的一条直线AB，是平面的一个法向量，如果<>是一个锐角，则直线AB与平面所成的角就是<>的余角，即；如果<>是一个钝角，则直线AB与平面所成的角就等于。yCBxAB1C1A1z例3、正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为，侧棱长为，求直线AC1与面ABB1A1所成的角的大小。解：以A点为原点，AC所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，过A点垂直于面ACC1A1的直

5、线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示。则A（0，0，0），B，B1，C1，于是设为面ABB1A1的一个法向量，则，有，解得：，所以，不妨取又因为所以所以，即直线AC1与面ABB1A1所成的角为4、二面角BAO求二面角的大小就是求它的平面角的大小，而两个平面的法向量的夹角正好等于二面角的平面角本身或是平面角的补角，所以求二面角有也可以用法向量来求解。例4、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F：FA=1：2，求平面B1EF与平面ABCD所成的夹角的大小。A1DFxAByECC1B1zD1解：设正方体的棱长为1，以点D

6、为原点，如图建立空间直角坐标系，则所以设是平面B1EF的一个法向量，则有解得：，所以，不妨取又因为，所以就是平面ABCD的一个法向量，且设是平面B1EF与平面ABCD所成的夹角，则所以注：由于二面角的范围是（0，），所以如果用法向量来求二面角的时候，应先确定二面角的大致范围，再根据实际问题确定是取法向量之间的夹角还是取夹角的补角！因此在解二面角的时候，应慎用法向量的方法。法向量是几何代数化的一个重要桥梁，它能很好的把空间几何的距离和角的问题转化成代数运算问题，使我们能绕开那些烦琐的空间图形，而直接得到结果！但同时也提醒读者，法向量并不能完全将空间几何的所

7、有问题都解决，我们还是需要掌握一些必要的空间图形知识。