空间向量法在立体几何中的运用

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1、用空间向量法解决立体几何问题II高考定位II对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.II应对策略II空间向量的引入为空间立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，首先要从定义入手，抓住实质，准确记忆向量的计算公式，注意向量与线面关系、线面角、面面角的准确转化；其次要从向量的基本运算入手，养成良好的运算习惯，确保运算的准确性.必备方法1.

2、空间角的范围(1)异面直线所成的角(0)：0<吨例如：(2)直线与平面所成的角⑹：OW&W务例如(3)二而角(0)：OWOWtt.例如2.用向量法证明平行、垂直问题的步骤(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角塑标系，也可以不建系)，用空I'可向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解禅相关问题.3.空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系(1)求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦；(2)求二面角吋，

3、两法向量的夹角有可能是二面角的补角，耍注意从图中分析.关于这两点，下面会详细谈到。必考必记：较学相长必备知识一、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线/，加的方I可冋量分别为"=(Q[,b[fCl),b=(d2,方2，C2)•平面a、0的法冋量分别为“=(。3,〃3，6),v=(a4r血，“)(以下相同).(1)线面平行l//a<=>a丄“o“・“=0OQ]d3+bib3+ciC3=0.操作步骤：(2)线面垂直/丄b、=kb»c=kcy.操作步骤：(1)而而平仃a〃qO“=久eO°3=久。4，〃3=/

4、i方4,c^=Xc^.操作步骤：(2)血血垂肓a丄”O“丄卩0“・°=000304+加〃4+03(4=0・操作步骤：二、空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线。，方的方向向量为a,b,其夹角为〃，贝ljcos°=

5、cos切=肯眷(其中0为界而直线a，b所成的角).操作步骤：(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线/的方向向量为纟，平而Q的法向量为弘直线/与平而匕所成的角为0两向量Q与巾的夹和为0,则有sin0=

6、cos厲=肯寻注意:求出直线/的方向向量/与平面Q的法向量刃的夹角0(锐角)并不是直线与平

7、面所成角,应取其余用.操作步骤:(3)二面角的求法①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈加，n＞即为所求二面角的平面角.②对于易于建立空间直角处标系的儿何体，求二而角的人小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.如图所示，二而角a-1-p,平而a的法向量为〃1，平而”的法向量为血，仙，«2>=0,则二而有a・/・“的大小为&或兀・&.注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量绚、①方向相反时，则二面角的大小等于,若两个面的法向量卩、力2方向相同时，则二面角大小为^~

8、・操作步骤：三、空间距离的计算直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离.点卩到平而G的距离，d=警其中〃为a的法向量，M为a内任一点）.操作步骤:利用向量法求空间甬要破“四关”利用向量法求解空间角，可以避免利用定义法作角、证角、求角中的“一作、二证、三计算”的繁琐过程，利用法向量求解空间角的关键在于“四破”.第一破“建系关”，第二破“求坐标关”；第三破“求法向量关”；第四破“应用公式关”，熟记线面成的角与二面角的公式，即可求出空间角.真题体验例1.（2012-山东）在如图所示的儿何体

9、中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD,ZDAB=60°,FC丄平而ABCD,AELBD,CB=CD=CF.(1)求证：8D丄平而AED；(2)求二面角F-BD-C的余弦值.⑴证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD,ZDAB=60°,所以ZADC=ZBCD=l20°.又CB=CD,所以ZCDB=30。,因此ZADB=90°f4D丄.BD,又4E丄BD,RAEQAD=AfAEf/DU平面AED,所以BD丄平面AED.⑵解连接/C,由⑴知丄BD,所以/C丄BC.又FC丄平面ABCD,因此C4,CB,CF两两

10、垂直，以C为坐标原点，分别以CM,CB,CF所在的直线为兀轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB=,贝i」C(0,0,0),3(0,1,0),D(),F(0,0,l),因此命=(),丽=(0,-1,1).设平而BDF的一个法向量为///=(x,y,z),则mBD=0,mBF=0,所以x=yf3y=yl3z,取z=l,则加=(迈，1,1).