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1、法向量在立体几何中的运用 孟志霞zlbsh@163.net 河北省三河市第一中学 065200 在高中立体几何中引入了空间向量，大大降低了立体几何解题的难度．法向量的引入，对于解决空间的角与距离提供了很大的帮助．下面简单介绍法向量在立体几何中运用．一、点到平面的距离.（先确定平面的法向量，再求点与平面上一点连结线段在平面的法向量上的射影长．设是平面的一个法向量，是平面外一点，是平面内一点，则点到平面的距离）．例１.如图,在四棱锥中,,平面,且,,求点到平面的距离.解：取的方向分别为的正方向，建立空间直角坐标系，则，，.,设平面的法向量为，.所以可令，点到平面的距离=.二、
2、两条异面直线间的距离.（先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长．设是异面直线，是公共法向量，点则异面直线之间的距离）。例２.如图，已知是正方形，平面，，分别是的中点，求异面直线与之间的距离。解：以为原点，建立空间直角坐标系，，，，，，是异面直线与的公共法向量，则即；即＋=0.所以=,所以异面直线与之间的距离．三、直线与平面的夹角．（求斜线与平面的法向量夹角的余角）.例３.如图,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,.侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心.求与平面所成角的大小(结果用反三角函数值表示);求点到平面的距离
3、. (1)建立如图坐标系,设,则,,,, ,,则=，，，则=，,取平面法向量为，则与夹角为与平面所成角的余角.所以cos,所以与平面所成角为.(2)由(1)知,设平面的法向量为,,即,即,所以令法向量.所以点到平面的距离为.四、两个平面的夹角.（求两个平面的法向量的夹角）。例４.过正方形的顶点A，引，若，则平面与平面所成的二面角的大小．解：以为原点，分别为轴轴,轴建立空间直角坐标系如图。则， ，,,则，.设平面PCD的法向量为,,即；，即．所以可令；设平面ＰＡＢ的法向量为，所以平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ所成的二面角的余弦值为．所以平面与平面所成的二面角的平面角为．既然可以利用两
4、个平面的法向量求两平面的夹角，也可以利用两个平面法向量证明两平面垂直．如下面的例５．可以先求两平面的法向量，再计算它们的数量积．例５.如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，分别为棱的中点.求证：平面平面 解：以为原点，分别为建立空间直角坐标系，则， ，,,设平面EF的法向量为，则=0；即.所以令=设平面的法向量为=,,即4=0;,即.所以可令． ＝０平面平面.
