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1、法向量在立体几何中的应用玉龙一中唐健华关键词：法向量数量积线面角二面角内容提要用纯立体几何方法解决立体几何解答题较难，用向量法解决立体几何的解答题较容易，在高考复习中，我用法向量解决立体几何题的教学和训诫效果较好。纵观近几年高考数学卷立体几何解答题，用纯立体几何的方法会解决一般都比较难，特别是在求有关线面角、二面角、距离等方面，考生往往在“构建”这一关就很难突破，因而得分率普遍较低，运用法向量，可使解决问题的方法及过程明细化，比效容易。我就进行了用法向量解决立体几何解答题的教学和训练，指导学生用法向量研究立体几何问题，用法向量解决立体几何解答题，取得
2、了良好的效果。本文就法向量解决立体几何解答题的问题加以分析。立体几何的计算和证明常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。法向量作为新加入的内容，用法向量证明线与面的平行或垂直，计算点到平面的距离、线面角及面面角的问题，是把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用法向量解决，充分地体现了用代数的方法解决几何问题的数学思想，在处理空间问题中具有相当的优越性。运用法向量解决立体几何问题，首先要理解法向量的概念。法向量的概念是：若
3、⊥平面，则叫做平面的法向量（与平面8垂直的向量都可作为的法向量）。第二、运用法向量解决立体几何问题，要掌握以下4点基本方法：1、利用向量证直线a‖b，就是分别在直线a，b上取向量，将证明直线平行转化为向量共线；2、利用向量证直线a⊥b，就是分别在直线a，b上取向量，将证明直线垂直转化为证明向量的数量积等于零；3、利用法向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取向量，理解求向量夹角所要用到的向量的数量积；4、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题。第三、法向量解决点到平面的距离问题、求线面角的大小问题、求二面角的大小问题。运用法向量研究线面关系、求
4、角或距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标。首先是给立体图形建立空间直角坐标系，即在空间图形中根据已知条件或经过论证确定有公共点的两两互相垂直的三条直线，其次要会求平面的法向量。求面的法向量的方法是（1）、尽量在土中找到垂直与面的向量，（2）、如果找不到，那么就设=（）然后因为法向量垂直于平面，所以垂直于面内两相交直线，可列出两个方程（两个方程，三个未知数），最后根据计算方便取等于一个数，然后就求出面的一个法向量了。具体方法如：设=（x，y，z），与是平面内的向量，则由即，可令y=a，(又因为法向量与长度无关，所以可以直接取y=1
5、)，从而解方程组求x、z组，得到平面的一个法向量的坐标。（一）、利用法向量可解决求点到平面的距离。这个方法的基本8解题思想是：首先，点到平面的距离就是求出该面的法向量；其次，在平面上任取一点（除平面外那点在平面内的射影）求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量；第三，点到平面的距离就是法向量与该向量的数量积的绝对值除以法向量的模。理论依据是：如图，点P为平面外一点，点A为平面内的任意一点，平面的法向量，过点P作平面的垂线PO，垂足为O，记PA和平面所成角为，如图,因为△AOB为直角三角形，所以运用三角函数的定义（）以及向量的知识（平面的法向量与共线，
6、与的数量积的几何意义是：PO是向量在向量方向上的投影），可推出点P到的距离公式为：OAPO（即：）题型示例1、已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是B1C1，C1D1的中点，求点A1到平面BDFE的距离。DC11A1BAzyxB11D1CFE解析：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则∵D(0,0,0），B(1,1,0），E(,1,1），A1(1,0,1）∴=(-1,0,-1），=(-,0,1），=(-1,-1,0）设=（x,y,z）平面BDFE的法向量，又∵即可得：-x-y=0；x+z=0令x=2，则=（2,-2,1）8∴所以
7、点A1到平面BDFE的距离是1。题型示例2：高中数学第二册下第56页第4题：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求直线DA1与AC的距离。DC11A1BAzyxB11D1C解析：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则∵D（0,0,0），A（1,0,0），C（0,1,0），A1（1,0,1）∴=（1,0,1），=（-1,1,0），=（1,0,0）设=（x,y,z）是DA1与AC的公垂线的方向向量，由即可得：x+z=0；-x+y=0令y=1，则=（1,1,-1）∴需要说明的是：在求异面直线间的距离中，确定与异面直线垂直的直线的方向向量的方法同
8、求平面的法向量的方法一样。即在异面直线、上各取一点A、B，设=（x，y，z）是异面直线、的公垂线的方向向量，
