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1、向量法在立体几何中的应用广东省惠州市惠阳区崇雅中学高中部：廖永琅立体几何中的线与线，线与面，面与面所成的角；点与面，线与面，线与线的距离的有关计算问题，是数学考试中考查的重点，而这又恰恰是学生的薄弱点。其实，求上述三种角，三个距离问题，难就难在很多时候不容易作出所要求的角和距离，这就给接下来的计算带来更大的困难。导致数学得分普遍较低。在我们学习了向量知识之后，上述求角和距离问题就变的简单多了，下面我就向量求角，求距离方面的应用举例说明。一．线与线所成的角理论依据：欲求两直线所成的角，联系向量中的数量积可得，由此公式就可以求得两直线所成的角：。例题一：（2004广东高考试题）如图，
2、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E，F分别是线段AB，BC上的点，且EB=FB=1，求直线EC1与FD1所成角的余弦值。解析：由于长方体是特殊的几何体，有三条两两垂直的直线，所以可以通过建立空间直角坐标系来求计算。以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为X，Y，Z轴建立空间直角坐标系。则E（3，3，0），C1（0，4，2），F（2，4，0），D1（0，0，2）。所以，设直线EC1与FD1所成角为，则6。评注：要求两条直线所成的角，只要取两条直线所在的两个向量并求出，然后利用向量的数量积，就可以求线与线所成的角。二．线与面所成的
3、角理论依据：欲求直线与平面所成的角，可以先找出平面的一条法向量，再利用直线与法向量所成的角进而求出线面角。例题二：设平面的一条斜线AB，平面的一条垂线n,求直线AB与平面所成的角。解析：取向量，设AB与平面所成的角为，（），因为直线n垂直与平面，所以可以看成平面的一个法向量。则向量与法向量所成的角就为，且为锐角。所以，即。评注：要求直线AB与平面所成的角，只要取向量，然后求出这个平面的法向量，最后求出，即为直线与平面所成的角。三．面与面所成的角理论依据：设平面的法向量分别为，则求两个法向量所成的角或其补角就是平面6所成的角。由此看来，利用法向量求两个平面所成的角，必须先判断二面角
4、的平面角是锐角还是钝角，这一步必不可少。其实不难判断，我们只需要在两个平面上任取两点，将其中一个面上的一点投影到另一平面上，观察投影点与该平面上的点的连线跟交线的位置关系。若它们位与交线的两侧，则二面角为锐角，否则为钝角。例题三：（2004广东高考），题目内容详见例题一。求：二面角C—DE—C1的正切值。解析：观察可知：二面角C—DE—C1的平面角为锐角，设为（）。取平面CDE的一个法向量，设面C1DE的一个法向量为则有，即，解得。若令可以得法向量。所以，故。即二面角C—DE—C1的正切值为。评注：要求二面角的平面角，只要找到两个平面的法向量，然后求或其补角即可！前面简单的讲了一
5、下求角的问题，接下来讲一讲求距离问题。四．异面直线间的距离理论依据：设向量是与都垂直的向量，则6，设异面直线间的距离为，所以例题四：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a,BC=b,CC1=c(),求直线AC与BD1的距离。解析:建立空间直角坐标系D_ACD1,则A(b,0,0),C(0,a,0),B(b,a,0),D1(0,0,c),所以向量,设同时垂直,则,即,解得,若令,可以得.设AC与BD1距离为,则评注:要求两条异面直线间的距离,只要找到与两条异面直线公垂线方向的向量,然后在两条异面直线上分别取一点A,B,求出即为所求!6五.点与面的距离理论依据:设点A是平面外
6、一点,直线AO⊥平面,则可以看作平面的法向量。令，则，设点A到平面的距离为d,则。例题五：（2004广东高考）题目内容详见例题一。求点B1到平面D1EF的距离。解析：是平面D1EF的法向量。则，即，解得，令得。设B1到平面D1EF的距离为d,所以。评注：要求点A到平面的距离，只要在平面内任取一点B，先求出平面的法向量，然后求出，即表示点A到平面的距离。6六．线与面的距离其实，求线与面的距离，一般是要求直线与平面平行的情况。由于直线与平面平行，所以直线上的任意一点到平面的距离都是相等的。即是直线到平面的距离。故求直线与平面的距离可归结到点与面的距离之中，在此就不展论述。总之：用向量
7、的方法来求解上面所述的角，距离问题，可以使很难想象的几何问题变为有规律可循的代数计算问题。由此可见向量在立体几何解题中有举足轻重的地位。6
