在立体几何中运用法向量

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1、在立体几何中运用法向量1.求距离例1・如图1所示，正方体的棱长为1,E、F分别为AiBi.CD的中点，求点B到平面AECiF的距离。x分析：所谓法向量，就是和平面垂直的向量，通过它和平面上任意两向量的乘积为0,可确定法向量。设P为平面厂外一点，则点P到平面的斜线段向量在平面法向量方向的射影，即为点P到平面厂的距离。而线到面的距离可通过线上取一点，转化为点而距求之。其公式为其中，为单位法向量，Pd面于点o,丨为面的斜线段向量。注意：只有单位法向量才不会改变射影的长度。解:设平面AECiF的法向量为则有例2.在例1中，若点G为AB的中点，其它条件不变，试求面的距离。分析：连结两平行平面间的

2、斜线段向量在平面法向量方向的射影，就是两平面间的距离。因此，先求出平面的斜线段向量及单位法向量，然后再求它们的数量积,即为所求距离。解：由例1得面厂〔「的单位法向量为而两平面的斜线向量所以两平面的距离为注意：斜线段向量的两端点应分别在两平面上。例3若例1中的已知条件不变，求异面肓线’’的距离。分析：两异面直线的公垂线方向向量就是它们的法向量。因此，先求出两线的法向量和一条斜线段向量，再求出斜线段向量在单位法向量方向的射影，即为两异面直线间的距离。解:1.求线面所成角例4.如图2所示，在直三棱柱ABC?A1BiCi中，底面是等腰肓角三角形，1，侧棱•D、E分别为••的中点，点E在平面AB

3、D上的射影G的重心。求I'与平面ABD所成角的大小。分析：斜线的方向向量在平面的单位法向量上的射影与斜线段的长度之比，就是线面所成角的正弦值。设斜线段PA在面内的射影为0A,则解：如图2所示建立坐标系,因为I面ABD,所以•为所求角，设••设面ABD的法向量为1.求二面角的平面角例5.在底面为直角梯形的四棱锥S?ABCD中，,I,:求面SCD与面SBA所成角的正切值。分析：如图3所示，设平面—与平面「的法向量分别为•••，则—'•延长平面APB交于C,所以I的平面角，所以则二面角与两法向量的夹角相等或互补。解：如图4所示建立坐标系，则有因为y轴平面SAB,所以平面SAB的法向量为设平面

4、SDC的法向量为由：———显然，所求二面角的平面角为锐角，所以