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1、利用法向量解立体几何题一、运用法向量求空间角1.向量法求空间两条异面直线a,b所成角θ，只要在两条异面直线a,b上各任取一个向量，则角<>=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cosθ=,不需要用法向量。αnA2、运用法向量求直线和平面所成角设平面α的法向量为=（x,y,z)，则直线AB和平面α所成的角θ的正弦值为sinθ=cos(-θ)=
2、cos<,>
3、=3、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为，则<>或π-<>是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<>是所求，还是π-<>是所求角。二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间
4、的距离设异面直线a、b的公共法向量为，在a、b上任取一点A、B，则异面直线a、b的距离d=AB·cos∠BAA＇=其中，的坐标可利用a、b上的任一向量，及的定义得5①解方程组可得。2、求点到面的距离求A点到平面α的距离，设平面α的法向量法为，在α内任取一点B，则A点到平面α的距离为d=，的坐标由与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面α的距离，设平面α的法向量法为，在直线a上任取一点A，在平面α内任取一点B，则直线a到平面α的距离d=4、求两平行平面的距离设两个平行设平面α、β的公共法向量法为，
5、在平面α、β内各任取一点A、B，则平面α到平面β的距离d=三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面α、β，两个面α、β的法向量为，则四、应用举例：例1：（04年高考广东18）如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.(1)求二面角C—DE—C1的正切值;(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，5则D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1
6、(4,3,2)于是，设法向量与平面C1DE垂直，则有（II）设EC1与FD1所成角为β，则例3：（04江苏高考18)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角正弦值的大小(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.解:(Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD1,∵棱长为4∴A（4，0，0），B（4，4，0），P（0，4，1）5∴=(-4,4,1),显然=（0，4，0）为平面BCC1B1的一个法向
7、量，∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ的正弦值sinθ=
8、cos<,>
9、=∵θ为锐角，∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ为arcsin(Ⅲ)设平面ABD1的法向量为=（x,y,1)，∵=（0，4，0），=（-4，0，4）由⊥，⊥得∴=（1,0,1)，∴点P到平面ABD1的距离d=例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O与B1C的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则O（1，1，0），A1（2，2，3），C（0，2，0）5∴设A1O与B1C的公共法向量为，则∴∴A1O与B1C的距离为d=
10、例5：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，求A1到面BDFE的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则B（1，1，0），A1（1，0，1），E（，1，1）∴设面BDFE的法向量为，则∴∴A1到面BDFE的距离为d=5
