空间向量在立体几何中的作用-论文.pdf

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1、酌作用胡云飞向量是近代数学中重要和基本的数学角”和“求角”两个过概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数程，而这两个过程要的一种工具，有着极其丰富的实际背景．空么有难度，要么计算间向量为处理立体几何问题提供了新的视麻烦，导致解题障碍．角，空间向量的引入，为解决三维空间中图思路2用两条形的位置关系与度量问题提供了一个十分异面直线的方向向有效的工具．量．我们都知道两条图1教材《选修2—1》“空间向量与立体几异面直线所成的角与它们的方向向量所成何”这一章先介绍了空间向量的基础知识，的角相等或互补，因此可以通过求两条异面然后重点研究了空间向量在立体几何中的直线的方向向量所成的角来求这两条直线应

2、用．在明确了直线的方向向量和平面的法所成的角．此思路下，常常有两种处理手段，向量两个基本概念后从线面关系(包括直线一种用知道模和夹角的向量来作基底进行与直线、直线与平面、平面与平面)的判定与计算，一种是建立坐标系通过坐标计算．空间角(包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角)的计算懈法．一(+)．两个方面研究空间向量在立体几何中的应(一)一．一z+葡．一用，侧重于应用向量解决立体几何问题的思贲．一一1．想方法．利用向量来解决立体几何问题是学得cos，一一习这部分内容的重点．本文举例从“空间角的计算”来谈谈空间向量在立体几何中的一，故与的夹角为120。，因此AC与作

3、用．BF所成角的大小为6O。．一异面直线所成的角、解法2以{，，}为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，例1如图l，设正方形ABCD与正方B(0，1，0)，C(1，1，0)，F(0，0，1)，得A(1===形ABEF的边长都是1，若FA上平面(1，1，o)，一(0，一1，1)．ABCD，则异面直线AC与BF所成角的大所s<，辞>=耥小为．思路用两条异面直线的定义来解一=一一妻，得与的夹角为12O。，√2·,／2决问题．需要通过平移构建异面直线AC与凶此AC与BF所成角的大小为6O。．BF所成的角，取AF，AB，BC的中点H，G，反思求两条异面直线所成的角，只要T，在

4、△HGT中通过解三角形解决．用定义法来求两条异面直线所成的角要经历“作求这两条异面直线的方向向量所成的角，有’￡。”魏”!l／n!眦12vcmir~ation甍道l1．簿题透嘞≯警“用知道模和夹角的向量来作基底进行计(o，1，一1)，一(1，0，一1)，荫一(1，1，算”和“建立坐标系通过坐标计算”两种处理0)．设平面A：CD的法向量为一(，，)，办法．需要注意的是向量所成的角可以是钝贝0，l·一0，，l·I(：o，即—z=0，一而～一n瓜～一一～一15—一，111、旦亚角，而直线所成的角不可能是钝角，因此条异面直线所成的角与它们方向向量所成面ACD的一个法向量，的角相等或互补．c。

5、s一一lnI‘上13『忐^／3·^／Z一二、直线与平面所成的角．因此，BD与平面ACD所成角的余弦例2如图2，在正方体ABCD—值为．AB(、D中，求BD与平面ACD所成角的余弦值．反思求直线与平面所成角，只要求直线的方向向量与平面的法向量所成的角．需要注意的是直线与平面所成的角，是直线与平面的垂线所成角的余角，所以直线的方向向量与平面的法向量所成的角余弦的绝对值等于直线与平面所成的角的正弦．B三、二面角图2例3如图3，在正方体ABCD一思路1用直线与平面所成角的定义ABCD，永二商瓴A—AlB一D的余来解决问题．需要通过作线面垂直构建BD弦值．与平面ACD所成的角，然后再作计算．和

6、用定义法来求两条异面直线所成的角一样，求直线与平面所成的角也要经历“作角”和“求角”两个过程，而这两个过程往往比起求两条异面直线所成的角更为困难．思路2用直线的方向向量和平面的B法向量．直线BD与平面ACD所成的角，图3就是直线BD与平面ACD的垂线所成角的余角，而直线BD与平面ACD的垂线所成角可以通过直线BD的方向向量与平面思路用二面角的平面角的定义来ACD的法向量所成角来求解．解决问题．需要通过作二面角A—AB—D的平面角，然后再作计算．同样要经历“作解设正方体的棱长为1，以角”和“求角”两个过程，这两个过程常常困{『)，，}为单位正交基底，建立空难重重．间直角坐标系，D(0，

7、0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)，B(1，1。1)，D(0，0，1)，得一思路2借助两个平面的法向量求解．鑫黪》mw_jl

8、‰州qlm{_=}tzon—越“稿舞舞≮熙¨ll蠢ll_悟道·解题通、浩。。蓦由于平面的法向量垂直于平面，两个平面所(1)AD与BC所成的角；成的二面角就可以转化为这两个平面的法(2)AD和平面BCD所成的角；向量所成的角．因为二面角的范围是[0。，(3)二面角A—BD一(的余弦值．180。]，所以二面角的平面角与这两个平