空间角的向量解法

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时间:2018-08-09

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1、http://www.ehappystudy.com  快乐学习,尽在苏州中学网校空间角的向量解法严少林在立体几何中,涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。关于角的计算,均可归结为求两个向量的夹角。对于空间向量a,b,利用这一结论,我们可以较方便地处理立体几何中角的问题。一、求异面直线所成角例1.已知正四面体,E、F分别为AB、OC的中点,求OE与BF所成的角。解:如图1,设正四面体O—ABC的棱长为1图1则,第4页共4页    http://www.ehappystudy.com  快乐学习,尽在苏州中学网校故O

2、E与BF所成的角为。文华点精:求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积,而要求两向量的数量积,可求两向量的坐标,也可以把所求向量用一组基向量表示。需要注意的是:两向量的夹角范围是,而两异面直线所成角的范围是,算出结果后应注意调整。二、求线面角、二面角例2.如图2,ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,。(1)求面SCD和面SAB所成二面角的大小;(2)求SC与平面ABCD所成的角。图2解:(1)可利用两个平面的法向量来求这两个平面所成的二面角。在本题中,面SAB的法向量是,可令面SCD

3、的法向量为,则第4页共4页    http://www.ehappystudy.com  快乐学习,尽在苏州中学网校故用θ表示所求二面角,则:(2)先求与的夹角又第4页共4页    http://www.ehappystudy.com  快乐学习,尽在苏州中学网校从而CS和面ABCD所成的角为。文华点精:①直线与平面α的夹角θ,是直线的方向向量m与平面α的法向量n的夹角β(锐角)的余角,故有。②设二面角为分别是平面α、β的法向量,则θ与相等或互补。用向量法求解空间角,避开了“作、证”两个基本步骤,只剩下单纯的计算,解题过程实现了程序化

4、,易于求解。第4页共4页

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