空间向量与空间角、距离

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1、理解教材新知把握热点考向应用创新演练第三章考点一考点二3.2第三课时考点三考点四第三课时　空间向量与空间角、距离山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30m和40m，CD的长为60m，AB的长为80m.问题1：如何用向量方法求异面直线AC和BD所成的角？问题2：如何求斜线BD与地面所成角α？问题3：如何求水平地面与斜坡面所成二面角β?1．空间角及向量求法

2、角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝＝

3、cos〈a，b〉

4、角的分类向量求法范围直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝＝二面角设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，则

5、cosθ

6、＝＝

7、cos〈a，n〉

8、

9、cos〈n1，n2〉

10、[0，π]2．空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A，B为空间中任意两点，则d＝点面距设平面α的法向量为n，B∉α，A∈α，则B点到

11、平面α的距离d＝

12、AB

13、答案：A[思路点拨]可考虑以下两种思路：一是由定义作出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明∠C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．[一点通]求直线与平面的夹角的方法与步骤思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：3.如图，在四棱锥P－ABCD

14、中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC，PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，AB的中点，求EF和平面ACC1A1夹角的大小．[思路点拨]解答本题可建立适当的空间直角坐标系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解．(2)设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的

15、大小，如图②.此方法的解题步骤如下：5.正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点(如图)，求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值．[例4]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．[思路点拨]结合图形建立适当的空间直角坐标系，然后利用公式求解．[精解详析]如图,建立空间直角坐标系，[一点通]用向量法求点面距离的方法与步骤：7.如图，在60°的二面角α－AB－β内，AC⊂β，BD⊂α，AC⊥AB于A，BD

16、⊥AB于B，且AC＝AB＝BD＝1，则CD的长为________．8．四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)证明：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．1．两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．2．直线的方向向量为u，平面的法向量为n，直线与平面所成角为θ，则sinθ＝

17、cos〈u，n〉

18、，不要漏了绝对值符号．3．利用两平面的法向量n1，n2求出cos〈n1，n2〉后，要根据

19、图形判断二面角是锐角还是钝角．4．求点到平面的距离时，关键是建立恰当的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，然后通过公式代入求解．求点到面的距离，还可用等积法求解．点击下图进入“应用创新演练”