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《空间向量与空间角、距离.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、[学业水平训练]1．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则( )A．α＝θ B．α＝π－θC．cosθ＝
2、cosα
3、D．cosα＝
4、cosθ
5、答案：D2．已知A∈α，P∉α，＝(－，，)，平面α的一个法向量n＝(0，－，－)，则直线PA与平面α所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．150°解析：选C.设直线PA与平面α所成的角为θ，则sinθ＝
6、cos〈，n〉
7、＝＝，∴θ＝60°.3．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为(
8、)A．0B.C．－D.解析：选A.建立如图坐标系，则D1(0,0，3)，B(2,2,0)，A(2，0,0)，C(0,2,0)，∴＝(－2，－2,3)，＝(－2,2,0)．∴cos〈，〉＝＝0，∴〈，〉＝90°，其余弦值为0.4.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是( )A．120°B．45°C．135°D．60°解析：选B.以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(
9、1,1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则有可取n＝(1,0,1)．又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.5．(2014·福建泉州质检)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( )A.B.C.D.解析：选D.如图建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，∴＝(2,0,0)，＝(2,0,2)，＝(2,2,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，∴点D
10、1到平面A1BD的距离是d＝＝＝.6．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．解析：设u＝(1,0，－1)，v＝(0，－1,1)，则cosθ＝±
11、cos〈u，v〉
12、＝±
13、
14、＝±.∴θ＝或.答案：或7．已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，则M，N两点间的距离为________．解析：如图，以A为原点，AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，B1(2
15、,0,2)，所以N(1,0,2)，M(1,1,1)．所以
16、MN
17、＝
18、
19、＝＝.故M，N两点间的距离为.答案：8.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，P(2，x,2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，＝(1，x－1,2)，＝(－2,0,1)．所以·＝0，所以直线BM与OP所成角为.答案：9.(2014·郑州高二检测)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC
20、的中点，F为CC1的中点．(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值．(2)求二面角FDEC的余弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1，2,0)，F(0,2,2)．(1)＝(－1,0,2)．易得平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，设与n的夹角为θ，则cosθ＝＝，所以EF与平面ABCD所成的角的余弦值为.(2)＝(－1,0,2)，＝(0,2,2)．设平面DEF的一个法向量为m，则m·＝0，m·＝0，可取m＝(2，－1,1)，所以cos〈m，n〉＝＝，所以二面角FDEC的余弦值为
21、.10．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点．(1)证明AM⊥PM；(2)求二面角PAMD的大小．解：(1)证明：以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2，0)．∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即⊥，∴AM⊥PM.(
