空间向量的应用-求空间角与距离

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1、利用向量求空间角1．求两条异面直线所成的角设a，b分别是两直线l1，l2的方向向量，则0＜〈a，b〉＜π2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ.则sinθ＝＝.

2、cos〈a，n〉

3、(2)设n1、n2是二面角α－l－β的两个角α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图(b)(c)所示)．科目一考试网http://www.kmyks.com/科目一模拟考试2016科目四考试网http://www.km4ks.com/科目四模拟考试驾校一点通36

4、5网http://www.jxedt365.com/驾校一点通2016科目一科目四驾驶员理论考试网http://www.jsyllks.com/2016科目一考试科目四考试(3)两异面直线的距离的求法若CD是异面直线a，b的公垂线段(其中n与a，b均垂直，A、B分别为两异面直线上的任意两点)，a、b间的距离：d＝.[答案]D2．(2009·江西，9)如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为()A．O－ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的

5、角是45°D．二面角D－OB－A为45°[解析]将四面体嵌入正方体，易知A、C、D正确．[答案]B3．在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD＝2AB＝2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于________．[答案]30°(2011·惠州二模)如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求异面直线EF与BD所成角的余弦值．(1)[证明]由于平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，而∠PA

6、D＝90°即PA⊥AD，PA⊂平面PAD由面面垂直的性质定理得：PA⊥平面ABCD.(2)[解]解法一：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，解法二：取BC的中点M，连结EM、FM，则FM∥BD，∠EFM(或其补角)就是异面直线EF与BD所成的角．设PA＝2，则AD＝DC＝CB＝BA＝2，[答案]B(2010·课标全国，18)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

7、．[解]以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)．(1)设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m＜0，n＞0)，如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AA1、AB之中点，求EF和平面ACC1A1所成角的大小．[解]建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则由E、F是AA1、AB之中点，有E(2,0,1)，F(2,1,1)．[点评与警示]求二面角，可以有两种方法：一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两

8、上向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π〈－n1，n2〉)．(2011·广州一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A＝AB＝2.(1)求证：AB1∥平面BC1D；(2)若四棱锥B－AA1C1D的体积为3，求二面角C－BC1－D的正切值．(1)[证明]连结B1C，设B1C与BC1相交于点O，连结OD∵四边形BCC1B1是平行四边形∴点O为B1C的中点．

9、∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1.∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.[分析]由平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC，BA＝BC，可知本题可以取AC中点O为坐标原点，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，用向量法求解．4．用向量方法求直线与平面所成的角．一般是通过求直线的方向向量与平面法向量所成的角来求，求二面角的大小是通过求两个面的法向量所成的角来求．