用向量法求空间角与距离.doc

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1、用向量法求空间角与距离温景洪英德市第六中学摘要：空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，解探究开放式问题路子更阔.这是因为几何问题代数化后,简单的代数运算取代了复杂的几何证明，解题思路方向明确，不必为如何解（证）而煞费苦心.因此，正确理解和掌握用向量方法求角与距离的问题,对高考备考有重要意义.关键词：向量、空间角、空间距离、基向量、空间直角坐标系向量，既是高中数学新课程的一个重要标志，又极大地丰富和发展了中学数学的知识结构体系，进一步拓展了中学数学问题解决的思维空间.由于融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识

2、的一个交汇点，成为联系多种内容的媒介.中学数学引入的向量分平面向量和空间向量。平面向量作为一种有向线段，本身是直线上的一段，其坐标可用起点和终点的坐标表示，因此它与平面解析几何（特别是直线部分）保持着天然的联系.而空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具.2004年,广东第一次使用新课程高考模式,并且全省统一使用数学必修第二册(下B)版本,引进了空间向量的概念.用向量知识解决立体几何中的平行,垂直,距离,夹角等问题，常常比用几何法简便.空间向量的引

3、入，使立几问题演绎难度降低，解探究开放式问题路子更阔.这是因为几何问题代数化后,简单的代数运算取代了复杂的几何证明，解题思路方向明确，不必为如何解（证）而煞费苦心.因此，正确理解和掌握用向量方法求角与距离的问题,对高考备考有重要意义.用向量知识解决立体几何中的夹角，距离等问题，须要掌握下面一些用向量来解析的基本概念和基本方法：1.基本概念：-12-1.1.向量的数量积和坐标运算是两个非零向量，它们的夹角为，则数叫做与的数量积（或内积），记作，即其几何意义是的长度与在的方向上的投影的乘积.其坐标运算是：若，则①；②；③④1.2.异面直线所成的角图

4、1分别在直线上取定向量则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角（如图1所示），则（例如2004年高考数学广东卷第18题第（2）问）1.3.异面直线的距离分别在直线上取定向量求与向量都垂直的向量，分别在上各取一个定点，则异面直线的距离等于在上的射影长，即.证明：设为公垂线段，取（如图1所示），则-12-图2设直线所成的角为，显然1.4.直线与平面所成的角在上取定，求平面的法向量（如图2所示），再求，则为所求的角.图3甲1.5．二面角方法一：构造二面角的两个半平面的法向量（都取向上的方向，如图3所示），则①若二面角是“钝角型”的如图3甲所示，那么

5、其大小等于两法向量的夹角的补角，即（例如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）.②若二面角是“锐角型”的如图3乙所示图3乙，那么其大小等于两法向量的夹角，即（例如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）.图4方法二：在二面角的棱上确定两个点，过分别在平面内求出与垂直的向量（如图4所示），则二面角的大小等于向量的夹角，即1.6.平面外一点到平面的距离-12-图5先求出平面的法向量，在平面内任取一定点，则点到平面的距离等于在上的射影长，即.（例如2004年广州一模第18题第（Ⅱ）问）.1．7．法向量上面“１．３～１．６”中，均运用了法向量

6、．但教科书对此只作了简略的处理，所以我们有必要对它进一步的挖掘和丰富．①直线的法向量：在直线上取一个定向量，则与垂直的非零向量叫直线的法向量．其具体求法见本文［例２］之“（Ⅰ）解法二”．②平面的法向量：与平面垂直的非零向量叫平面的法向量．其具体求法见本文［例２］之“（Ⅰ）解法一”．构造直线或平面的法向量，在求空间角与距离时起到了桥梁的作用，在解题过程中只须求出而不必在图形中作出来．在空间直角坐标系下，构造关于法向量坐标的三元一次方程组，得到直线（或平面）的法向量坐标的一般形式，再取特值.其向上或向下的方向可根据竖坐标的符号来确定.由上可见，利用

7、向量的数量积可把求距离、夹角问题转化为向量的运算，和原来距离、夹角求解中的“作、证、算”有较大差异.掌握了以上的基本概念和方法，就会使解决立体几何中夹角与距离的问题难度降低，也拓展了我们解决问题的思路.2.基本方法：利用向量解立体几何中垂直、夹角、距离等问题，其基本方法是：把有关线段与相应的向量联系起来，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算进行计算或证明.具体地说，有以下两种基本方法.2.1.基向量法由于空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，因此在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把有关线段根据向量的加法、数乘运算法

8、则与基向量联系起来.再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的.一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量.-12-[例1]如图6，已知正三