用向量法求空间距离

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1、用向量法求空间距离湖南省冷水江市七中(417500)李继龙在高中立体几何中引入空间向量，为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法，有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法.一、求两点之间的距离用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离.ABCDQPA1B1C1D1yxz图1例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是AD1的中点，Q是BD上一点，DQ=DB，求P、Q两点间的距离.解如图1，以所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则，所以.故,即P、Q两点的距离为.二、求点到直

2、线之间的距离PQOa图2已知如图2，P为直线a外一点，Q为a上任意一点，PO⊥a于点O，所以点P到直线a的距离为

3、PO

4、=d.则有，所以，故4例2在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2.求点O1到直线AC的距离.ABCOA1B1C1O1yxz图3解建立如图3所示的空间直角坐标系，连结AO1，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，O1(0，0，2).所以.故所以点O1到直线AC的距离为.一、求点到平面的距离ABdα图4如图4设A是平面α外一点，AB是平面α的一条斜线，交平面α于点B，而是平面α的法向量，那么向量在方向上的射影长就是点A到平面α的距离d，所以.例3如图

5、5，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点，N为AC与BD的交点，求点B到平面CMN的距离.CMNAByEDxz图5F解如图5，以所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系C-xyz.因为AB=，AF=1，所以，设平面CMN的法向量为，则有4即令x=1,得y=-1，z=0，所以.所以点B到平面CMN的距离.一、求异面直线间的距离aa′bEFAα图6如图6，假设a、b是异面直线，平移直线a至a′且交b于点A，那么直线a′和b确定平面α，且直线a∥α，设⊥,⊥，即为异面直线a、b的公垂线的方向向量.所以异面直线a的b的距离等于直线a上任意一

6、点至平面α的距离.若F∈a，E∈b，则异面直线a、b之间的距离，即为异面直线a、b之间的距离.例4在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线A1C1与B1C的距离.解如图7所示，以所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则有.ABCDA1B1C1D1yxz图7设的公垂线的方向向量为，则即令x=1,得y=1，z=-1，所以.又，4所以A1C1与B1C的距离.一、求直线与它平行平面及求两个平行平面之间的距离求直线与它平行平面及两个平行平面之间的距离可以转化为求点到平面的距离，即运用求它们之间的距离.例5如图8，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M、N

7、、E、F分别是A1B1、A1D1、B1C1C1D1的中点.求平行平面AMN与平面EFDB的距离.ABCDA1B1C1D1yxz图8EFMN解以所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系C-xyz，则.设平面EFDB的法向量为，则有即取,则，所以，所以平行平面AMN与平面EFDB的距离.4