用向量法求空间角和距离

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1、用向量法求空间角与距离向量，既是高中数学新课程的一个重要标志，又极大地丰富和发展了中学数学的知识结构体系，进一步拓展了中学数学问题解决的思维空间.由于融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多种内容的媒介.中学数学引入的向量分平面向量和空间向量。平面向量作为一种有向线段，本身是直线上的一段，其坐标可用起点和终点的坐标表示，因此它与平面解析几何（特别是直线部分）保持着天然的联系.而空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具.

2、用向量知识解决立体几何中的夹角，距离等问题，须要掌握下面一些用向量来解析的基本概念和基本方法：1.基本概念：1.1向量的数量积和坐标运算是两个非零向量，它们的夹角为，则数叫做与的数量积（或内积），记作，即其几何意义是的长度与在的方向上的投影的乘积.其坐标运算是：若，则①；②；③1.2法向量法向量这个概念，教科书只作了简略的处理，我们有必要对它进一步的挖掘和丰富．①直线的法向量：在直线上取一个定向量，则与垂直的非零向量-11-叫直线的法向量．其具体求法见本文②平面的法向量：与平面垂直的非零向量叫平面的法向量．其具体求法见本文．构造直线或平面的法向量，在求空间角与距离时起到了

3、桥梁的作用，在解题过程中只须求出而不必在图形中作出来．在空间直角坐标系下，构造关于法向量坐标的三元一次方程组，得到直线（或平面）的法向量坐标的一般形式，再取特值.其向上或向下的方向可根据竖坐标的符号来确定.1.3空间两点P、Q间的距离直接转化成求

4、

5、1.4点P到直线AB的距离在直线AB上取一点Q，令=λ，由⊥或求

6、

7、的最小值，可求得参数λ的值，以确定点Q的位置，则

8、

9、即为点P到直线AB的距离.1.5异面直线的距离图1分别在直线上取定向量求与向量都垂直的向量，分别在上各取一个定点，则异面直线的距离等于在上的射影长，即.证明：设为公垂线段，取（如图1所示），则1.6平面外一点

10、到平面的距离先求出平面的法向量，在平面内任取一定点，则点到平面的距离-11-等于在上的射影长，即..图11.7异面直线所成的角分别在直线上取定向量则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角（如图1所示），则1.8直线与平面所成的角在上取定，求平面的法向量（如图2所示），再求，则为所求的角.图3甲1.9二面角方法一：构造二面角的两个半平面的法向量（都取向上的方向，如图3所示），则①若二面角是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量的夹角的补角，即②若二面角是“锐角型”的如图3乙所示图3乙，那么其大小等于两法向量的夹角，即-11-图4③方法二：在二面角的棱上确定两个点

11、，过分别在平面内求出与垂直的向量（如图4所示），则二面角的大小等于向量的夹角，即2.基本方法：利用向量解立体几何中垂直、夹角、距离等问题，其基本方法是：把有关线段与相应的向量联系起来，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算进行计算或证明.具体地说，有以下两种基本方法.2.1基向量法由于空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，因此在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把有关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来.再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的.一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量.[例1]如图6，已知正三棱柱的棱长

12、为2，底面边长为1，是的中点.图6（1）在直线上求一点，使；（2）当时，求点到平面的距离.（3）求出与侧面所成的角.分析1（1）的问题显然是求使异面直线与所成的角为直角的点.依据向量数量积的概念，必须由条件，求出的长度，而与都不是已知向量，且和没有直接联系，因此必须选择一组基向量来表示与.（1）解法一：取共点于的三个不共面的已知向量为基向量，-11-分析2本小题还可以取共点于的三个不共面的已知向量为基向量，从而得（1）解法二：比较方法一与方法二，方法一比方法二运算简便.因为用方法一选择的一组基向量表示时式子较为简单.这告诉我们可选择的基向量并不唯一，我们应选择使得运算简便

13、的那一组向量作为基向量.当几何体中能够找到（或构造出）三个共点且两两垂直的基向量时，我们就可以用下面的方法解决问题.-11-2.2.坐标法所谓坐标法，就是建立适当的空间直角坐标系(本文所建立的都是右手直角坐标系)，把向量用坐标来表示，用向量的坐标形式进行向量的运算，以达到解决问题的目的.图7运用坐标法时，也必须首先找出三个基向量，并且这三个基向量两两垂直,由此建立空间直角坐标系.因而坐标法是基向量法的特殊情形，但坐标法用于求长度、角度或解决垂直问题时，比较简单.在坐标法下，例1几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于