利用空间向量求空间角

《利用空间向量求空间角》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是。向量求法：设直线的方向向量为，其夹角为，若与的夹角为锐角，则，若与的夹角为钝角则，所以有练习在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.(2)直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。范围：直线和平面所夹角的取值范围是。向量求法：若是平面α的法向量,是直线L的方向向量,则L与α所成的角或，所以练习：1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别是AB,C1D1的中点，求A1B1与平面A1

2、EF所成的角2：在三棱锥P—OCB中，PO平面OCB,OBOC，OB=OC=,PC=4，D为PC的中点，求OD与平面PBC所成的角(3)二面角二面角的取值范围是。二面角的向量求法：方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的即为所求的二面角的大小；方法二：设，分别是两个面的法向量，则向量与的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。(4)点到平面的距离AnA为平面α外一点(如图),n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.，斜线AB与平面α的夹角为BH==典题赏析题目1：如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点.（Ⅰ）求直线与

3、所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离.解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、第:1题、、、、，从而设的夹角为，则∴与所成角的余弦值为.（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则，由面可得，∴即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.题目2.已知正方体的棱长为a．ABCDC1D1A1B1第2题(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面所成的二面角余弦值解(1)按如图3-1所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、，向量．设是平面的法向量，于是，有ABCDC1D1A1B1(O)xy题目2，即．令得．于是平面的一个法向量是．因此，到平面的距离

4、．(2)由(1)知，平面的一个法向量是．又因，故平面的一个法向量是．设所求二面角的平面角为(结合图形可知二面角是锐角，即为锐角)，则．题目3.如图，四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且，，，。（1）求证：；（2）求点到平面的距离。解：．（1）如图建系，则，，故。ABCDPxyy题目3（2），设平面的法向量为，依题意，，取。，所以点到平面的距离。