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1、______________________________________________________________________________________________________________利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的夹角范围:两条异面直线所成的夹角的取值范围是090。向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为,若a与b的夹角为锐角,则cosa,b,若a与b的夹角为钝角则a,b,所以有coscosa,b练习在正方体ABCD-ABCD中,M是AB的中点,则对角线DB与CM所成111
2、11角的余弦值为_____.(2)直线与平面所成的角定义:直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。范围:直线和平面所夹角的取值范围是090。向量求法:若n是平面α的法向量,AB是直线L的方向向量,则L与α所成的角AB,n或2精品资料______________________________________________________________________________________________________________AB,n,所以sincosAB,n2练习:1:正方体ABCD—AB
3、CD中,E,F分别是AB,CD的中点,求AB与平面AEF111111111所成的角2:在三棱锥P—OCB中,PO平面OCB,OBOC,OB=OC=2,PC=4,D为PC的中点,求OD与平面PBC所成的角精品资料______________________________________________________________________________________________________________(3)二面角二面角的取值范围是0180。二面角的向量求法:方法一:在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量,则这两个向量所成的即为所求的二
4、面角的大小;nnnn方法二:设1,2分别是两个面的法向量,则向量1与2的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。(4)点到平面的距离A为平面α外一点(如图),n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.,斜线ABA与平面α的夹角为n
5、AH
6、
7、AB
8、sin
9、AB
10、
11、cosAB,n
12、
13、ABn
14、
15、AB
16、
17、AB
18、
19、n
20、=BH
21、ABn
22、
23、n
24、=典题赏析精品资料_____________________________________________________________________________________________
25、_________________题目1:如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA底面ABCD,AB3,BC1,PA2,E为PD的中点.(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE面PAC,并求出点N到AB和AP的距离.解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则A,B,C,D,P,E的坐标为A(0,0,0)、B(3,0,0)、C(3,1,0)、D(0,1,0)、1P(0,0,2)、E(0,,1),2从而AC(3,1,0),PB(3,0,2).第:1题设AC与PB的夹角为,则ACPB337cos,
26、
27、AC
28、
29、PB
30、271437∴AC与PB所成角的余弦值为.14(Ⅱ)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),则1NE(x,,1z),由NE面PAC可得,213NEAP0,(x,,1z)(0,0,2)0,z10,x2∴6即化简得1NEAC0.13x0.z1(x,,1z)(3,1,0)0.2233即N点的坐标为(,0,1),从而N点到AB和AP的距离分别为1,.66题目2.已知正方体ABCDABCD的棱长为a.1111精品资料______________________
31、________________________________________________________________________________________(1)求点C到平面ABD的距离;111AD11B(2)求平面CDDC与平面ABD所成的二面角余弦值11111C1解(1)按如图3-1所示建立空间直角坐标系,可得有关点的坐AD标为A(0,0,0)、D(0,a,a)、1BCB(a,0,a)、C(a,a,a),向量CA(a,a,a),AD(0,a,a),AB(a第,0,2a题).11111设n(