利用空间向量求空间角.pdf

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1、______________________________________________________________________________________________________________利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是090。向量求法：设直线a,b的方向向量为a,b，其夹角为，若a与b的夹角为锐角，则cosa,b，若a与b的夹角为钝角则a,b，所以有coscosa,b练习在正方体ABCD-ABCD中,M是AB的中点,则对角线DB与CM所成111

2、11角的余弦值为_____.(2)直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。范围：直线和平面所夹角的取值范围是090。向量求法：若n是平面α的法向量,AB是直线L的方向向量,则L与α所成的角AB,n或2精品资料______________________________________________________________________________________________________________AB,n，所以sincosAB,n2练习：1：正方体ABCD—AB

3、CD中，E,F分别是AB,CD的中点，求AB与平面AEF111111111所成的角2：在三棱锥P—OCB中，PO平面OCB,OBOC，OB=OC=2,PC=4，D为PC的中点，求OD与平面PBC所成的角精品资料______________________________________________________________________________________________________________(3)二面角二面角的取值范围是0180。二面角的向量求法：方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的即为所求的二

4、面角的大小；nnnn方法二：设1，2分别是两个面的法向量，则向量1与2的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。(4)点到平面的距离A为平面α外一点(如图),n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.，斜线ABA与平面α的夹角为n

5、AH

6、

7、AB

8、sin

9、AB

10、

11、cosAB,n

12、

13、ABn

14、

15、AB

16、

17、AB

18、

19、n

20、=BH

21、ABn

22、

23、n

24、=典题赏析精品资料_____________________________________________________________________________________________

25、_________________题目1：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB3，BC1，PA2，E为PD的中点.（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出点N到AB和AP的距离.解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A,B,C,D,P,E的坐标为A(0,0,0)、B(3,0,0)、C(3,1,0)、D(0,1,0)、1P(0,0,2)、E(0,,1)，2从而AC(3,1,0),PB(3,0,2).第:1题设AC与PB的夹角为，则ACPB337cos,

26、

27、AC

28、

29、PB

30、271437∴AC与PB所成角的余弦值为.14（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0,z)，则1NE(x,,1z)，由NE面PAC可得，213NEAP0,(x,,1z)(0,0,2)0,z10,x2∴6即化简得1NEAC0.13x0.z1(x,,1z)(3,1,0)0.2233即N点的坐标为(,0,1)，从而N点到AB和AP的距离分别为1,.66题目2.已知正方体ABCDABCD的棱长为a．1111精品资料______________________

31、________________________________________________________________________________________(1)求点C到平面ABD的距离；111AD11B(2)求平面CDDC与平面ABD所成的二面角余弦值11111C1解(1)按如图3-1所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐AD标为A(0，0，0)、D(0，a，a)、1BCB(a，0，a)、C(a，a，a)，向量CA(a,a,a),AD(0,a,a),AB(a第,0,2a题)．11111设n(