空间向量与空间几何

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1、空间向量与空间几何a.空间向量的坐标：夹角公式（a＝，b＝）。②空间两点的距离公式：.b.法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量.c.向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.②.异面直线间的距离(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).③.直线与平面所成角(为平面的法向量).④.（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.d.证直线和平面平行定理：已知直

2、线平面，，且C、D、E三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.一、经典例题剖析考点一空间向量及其运算1.已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？2.如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：平面．考点二证明空间线面平行与垂直3.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，ABCA1B1C1Exyz（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；4.四棱锥P—AB

3、CD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。考点三求空间图形中的角与距离5.如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.(Ⅰ)求与底面所成角的大小；(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求二面角的余弦值.6.如图，在长方体中，点在线段上.（Ⅰ）求异面直线与所成的角；（Ⅱ）若二面角的大小为，求点到平面的距离.考点四探索性问题7.如图所示：边长为2的正方形ABF

4、C和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED//AF且∠DAF=90°。（1）求BD和面BEF所成的角的余弦；（2）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。1,3,58.如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．（I）求证：平面平面；（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．ＶAＣＤＢ考点五折叠、展开问题9．已知正方形、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为(I)证明平面;(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,

5、并求角的余弦值考点六球体与多面体的组合问题10．设棱锥M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.一、方法总结（一）方法总结1．位置关系：（1）．两条异面直线相互垂直（2）．直线和平面相互平行（3）．直线和平面垂直（4）．平面和平面相互垂直2．求距离：（1）．两条异面直线的距离求法：利用公式（其中A、B分别为两条异面直线上的一点，为这两条异面直线的法向量）（2）．点到平面的距离求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。向量法，利用公式（其中A为已知点，B为这

6、个平面内的任意一点，这个平面的法向量）3．求角:（1）．两条异面直线所成的角（2）．直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为或。（3）．平面与平面所成的角（二）强化训练（一）选择题1．定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有（　）（Ａ）１个（Ｂ）２个（Ｃ）３个（Ｄ）４个2．P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是，，，则P到A点的距离是（　）（Ａ）１（Ｂ）

7、２（Ｃ）（Ｄ）４　3．直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在平面α外，C在平面α内的射影为C1，且C1AB，则△C1AB为　（）Ａ）锐角三角形（Ｂ）直角三角形Ｃ）钝角三角形Ｄ）以上都不对4．已知四点，无三点共线，则可以确定()A.1个平面B.4个平面C.1个或4个平面D.无法确定5．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是()A.4B.3C.2D.56．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为()A.4B.2C.2D

8、.7．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1被以A为球心，AB为半径的球相截，则被截形体的表面积为（）A．πB．πC．πD．π8．某刺猬有2006