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1、第八章向量代数与空间解析几何第一节 空间直角坐标系与向量的概念第二节向量的点积和叉积第三节平面与直线第四节曲面与空间曲线向量（矢量）：既有大小又有方向的量.模长为1的向量。零向量：模长为0的向量
2、
3、向量的模：向量的大小单位向量：一、向量的概念或或向量的记法：（方向任意）。向量的表示：3/26就是线段的距离自由向量：不考虑起点位置的向量（默认）.相等的向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.平行的向量：4/26[1]加法：（1）平行四边形法则特殊地：若‖（2）三角形法则二、向量的线性运算5/26考虑物理意义向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3
4、）[2]减法6/26[3]向量与数的乘法:7/26数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：8/26例1化简解9/26本例题利用了向量数乘的结合律和分配率横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系若三个坐标轴的正方向符合右手规则——右手系——最常用（默认）.三、空间点的直角坐标另一种空间直角坐标系——左手系.11/26Ⅶ面面面空间直角坐标系共有三个坐标面、ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ八个卦限12/26向径OM有序数组称为(x,y,z)向径OM的坐标,点M点M的坐标。xyz向量AB的坐标=向径OM的坐标A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)M(x2-x1,y2-y1,z2-z1)=AB的终点坐
5、标(x2,y2,z2)-起点坐标(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)13/26——按基本单位向量的分解式.14/26五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间距离公式——向量的模的坐标表达式。17/26解原结论成立.18/26解设P点坐标为所求点为19/262.方向角与方向余弦类似地，定义向量与轴的夹角及两轴的夹角.非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为向量的方向角，其余弦称为向量的方向余弦.由20/26当时，向量方向余弦的坐标表示式由21/26解例723/26六、小结1、向量的概念（注意与标量的区别）2、向量的线性运算3、空间点的坐标、向量的坐标4、利用直角坐标
6、作向量的线性运算5、向量的模、方向角、方向余弦、投影26/26第二节向量的点积和叉积一、向量的点积（数量积）1．引例已知力与轴正向夹角为,其大小为，在力的作用下，一质点沿轴由点()移动到点()(如图8-9），求力所做的功？解力在水平方向的分力大小为，所以，力使质点沿轴方向(从到)所做的功为：(1)注意到，，所以(1)式可写成:(2)２．点积的定义定义1设向量与之间夹角为（），则称实数为与的点积（或数量积），并用记号表示，即=．特别，零向量与任何向量的点积显然为0（即为数零）。注意，我们约定两向量与间的夹角的范围是于是由定义1即可得：3．点积满足的运算规律由点积的定义容易验证点积满足下列运算
7、规律：(1)（交换律）；（2）（分配律）；（3）（结合律）。显然，且可得到以下结论．定理1两个非零向量与垂直（记为）的充分必要条件为。证明（见书）。由此定理可得到：,,；另有,,。4．点积的坐标表示式则由此可得上述两非零向量垂直的充分必要条件又可表为：另外，由,可得两向量，夹角的余弦公式：例１试证向量,是互相垂直（即正交）的．证明因为，所以由定理1知与互相垂直。二、向量的叉积(向量积)只做了解1．引例设点为一杠杆的支点,力作用于杠杆上点处，求力对支点的力矩.解根据物理学知识，力对点的力矩是向量,其大小为，其中为支点到力的作用线的距离,为矢量与的夹角（如图8-10）．力矩的方向规定为：伸出右
8、手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向方向，然后让四指沿小于的方向握拳转向力的方向，这时拇指的方向就是力矩的方向．因此，力矩是一个与向量和向量有关的向量，其大小为，其方向满足：（1）同时垂直于向量和；（2）向量，，依次符合右手螺旋法则．2．叉积的定义定义2两个向量和的叉积（也称为向量积）是一个向量，记作，并规定如下：（1）；（2）的方向规定为：既垂直于又垂直于，并且按顺序，，符合右手螺旋法则（如图8-11）．若把，的起点放在一起，并以，为邻边作一平行四边形，则向量与的叉积的模即为该平行四边形的面积（如图8-12）．第三节平面与直线一、平面的方程1.平面的点法式方程（1）.法向量如果一个非零
9、向量垂直于一个平面，则称此向量为该平面的法（线）向量。（2）.平面的点法式方程已知点为平面上一点，向量为平面的法向量，求平面的方程。设点为平面上任意一点，连结成向量（（见图8-13）。由于平面的法向量垂直于上任一直线，故有，从而得到，即有，于是得方程为：（1）显然平面上任一点满足方程（1）；反之，若点不在平面上，则不垂直，从而,即点的坐标不满足方程（1），故方程（1）是平面的方程。平面是方程（1）的图形，我们称这种由平面
