空间解析几何与向量代数

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1、第八章空间解析几何与向量代数第八章空间解析几何与向量代数一、基本要求及重点、难点1．基本要求（1）了解空间直角坐标系，熟悉坐标系中特殊点的坐标及两点间的距离公式。（2）掌握向量概念，熟悉向量的线性运算。　（3）掌握向量的数量积和向量积概念、坐标表示，掌握向量平行和垂直的判别条件。　（4）掌握平面的点法式方程和一般式方程，会求点到平面的距离　（5）掌握空间直线的对称式方程、参数式方程和一般式方程，会进行方程间的互化。　（6）会用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系。　（7）了解曲面方程的概念。知道常用二次曲面（如球

2、面、椭球面、旋转抛物面及圆锥面等）的方程及其图形。（8）会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形。（9）了解空间曲线的参数式方程和一般式方程，会求简单空间曲线在坐标平面上的投影。2．重点及难点（1）重点：理解向量的概念与各种运算，用向量代数方法掌握平面和空间直线方程。（2）难点：用向量代数方法来研究平面与直线问题，培养空间图形的想象能力。二、内容概述1．向量概念的基本要点（1）向量定义：既有大小又有方向的量。（2）重要概念：单位向量、零向量、负向量、向径、自由向量、相等向量。（3）向量的坐标表达式：，其中分别为向量在

3、轴、轴和轴上的投影。（4）向量的模与方向余弦：；，，2．投影定理（1）19第八章空间解析几何与向量代数（2）3．向量的线性运算设，，（1）向量的加减法：平行四边形法则，三角形法则坐标表达式：（2）向量的数乘：设是数，则坐标表达式：运算规律：，，4．向量的乘法（1）向量的数量积：定义式：坐标表达式：运算规律：，，常用应用：，，，（2）向量的向量积定义式：坐标表达式：运算规律：，，几何意义：以为邻边的平行四边形面积19第八章空间解析几何与向量代数常用应用：，，与同时垂直的向量可取作注：5．曲面方程（1）曲面的一般式方程：（2）旋转曲面：曲线绕轴旋

4、转所得旋转曲面方程为：；绕轴旋转所得旋转曲面方程为：。（3）柱面方程在空间直角坐标系中表示准线为母线平行于轴的柱面。类似的，和分别表示母线平行于轴和轴的柱面。注：在母线平行于坐标轴的柱面方程中，相应于该坐标轴的变量不出现。6．空间曲线及其在坐标面上的投影曲线方程（1）空间曲线的一般式方程：，即空间曲线可看作两个空间曲面的交线。（2）空间曲线在坐标面上的投影曲线方程空间曲线在面上的投影曲线方程是在上式中消去，得投影柱面方程，再与联立，即。7．平面方程（1）点法式：其中为平面法向量，为平面上任一点。（2）一般式：，其中为平面法向量。（3）截距式：

5、，其中分别为平面在三个坐标轴上的截距。（4）点到平面的距离：19第八章空间解析几何与向量代数8．空间直线方程（1）对称式（标准式、点向式）：其中直线的方向向量为，为直线上任一点。注：对形如的直线方程，不要理解为分母为零无意义。方向向量表明直线与轴垂直，即平行于坐标面，应理解为两平面交线。（2）两点式：（3）参数式：（4）一般式：，其方向向量9．直线与平面的位置关系（1）两平面与的夹角为：则（2）两直线与的夹角为：则（3）平面与直线的夹角为：19第八章空间解析几何与向量代数则（4）平行条件平面与平面：，直线与直线：，直线与平面：（5）垂直条件平

6、面与平面：，直线与直线：，直线与平面：三、典型例题分析例1：设，，且，求及解：，与的夹角为0（同向平行）或（反向平行），则又，例2：求与向量平行且满足的向量。解：设，，令，，，又，，。例3：设解：19第八章空间解析几何与向量代数∴例4：设三角形面积。解：=例5：求同时垂直于轴和向量的单位向量。解：与轴垂直等价于与轴上的单位向量垂直，与向量与同时垂直的向量，单位向量。例6：已知，单位向量与三坐标轴夹角相等且为锐角，求。解：可设单位向量=，，又已知向量与三坐标轴夹角相等且为锐角，可推得，即所以=。又因为向量，得例7：将下列各曲线绕对应的轴旋转一周

7、，求生成的旋转曲面的方程。19第八章空间解析几何与向量代数（1）双曲线分别绕轴和轴解：绕轴旋转：,绕轴旋转：（2）面上曲线绕轴解：绕轴旋转：例8：指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？解：方程平面解析几何空间解析几何平行于轴的直线平行于面的平面圆心在，半径为的圆以轴为中心轴的圆柱面斜率为1的直线平行于轴的平面例9：写出满足下列条件的动点轨迹方程，它们分别表示什么曲面？（1）动点到坐标原点的距离等于它到平面的距离。（2）动点到点的距离等于它到轴的距离。解：（1）设为动点，由条件知，化简得，此为以轴为旋转轴的旋转抛物面。（

8、2）设为动点，由条件知，化简得，此为母线平行于轴的抛物柱面。例10：求抛物面与平面的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解：（1）两曲面的交线方程为，在此方程中消去变