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1、第七章空间解析几何与向量代数一、知识考点精要向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，向量的混合积，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量、方向数与方向余弦。曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程，直线方程，平面与平面，平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离，球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标的旋转曲面的方程，常用的二次曲面方程及其图莆，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。（一）向量代数1.向量的概念具有大小和方向的量称为向量（失量），我们只研究
2、与起点无关的自由向量。只有大小，没有方向的量叫做标量（数量）向量a的大小（或长度）称为它的模，记做
3、a
4、。模为零的向量称为零向量，记做0。模为1的向量称为单位向量，向量a的单位向量记做，显然。设向量a与空间直角坐标系的三个坐标轴正方向的夹角依次为，则，，称为向量a的方向余弦，它们满足等式=1把向量a与空间直角坐标系的三个坐标轴正方向的夹角依次为把向量a的起点与空间直角坐标系原点相重合，则其终点的坐标（ax，ay，az），于是有0={0，0，0}，设，为空间两点，以M1为始点，M2为终点的向量，其模为，其模为（即为点M1到M2的距离）。于是2．向量的运算（1）加法。把向
5、量b的起点移到向量a的终点，则以a的起点为起点，b25的终点的向量称为向量a与b的和，记做c=a+b。用坐表示，若，，则a+b={}(2)数乘。实数l与向量a=数乘是一个向量，记做al，当l>0时，向量la与a同向，当l<0时，la与a反向，且
6、la
7、=
8、l
9、
10、a
11、，用坐标表示有la={}。加法与数乘有以下性质①a+b=b+a②(a+b)+c=a+(b+c)③a+0=a（4）a+(-a)=0⑤l(ma)=m(la)⑥(l+m)a=la+ma⑦l(a+b)=la+lb(3)点乘（数量积或内积）。向量与b=的点乘是一个数
12、a
13、b
14、(其中表示之间的夹角)记做a·b
15、，即a·b=
16、a
17、b
18、。用坐标表示为a·b=。点乘的性质①a·b=b·a②(la)·b=l(a·b)③(a+b)·c=a·c+b·c④a⊥b的充要条件是a·b=0，简记a⊥bÛa·b=0这里a⊥b表示a与b垂直（或正交），常把a·a记做a2=
19、a
20、2。（4）叉乘（向量积或外积）。两个向量与叉乘是一个向量，记做a´b，它的模为
21、a´b
22、=
23、a
24、
25、b
26、sin，方向垂直于a,b,且使a,b,a´b成右手系。若向量a或b为零向量时，则定义a´b=0，用坐标表示为叉乘的性质：①②③④a∥b的充要条件是,简记a∥b,其中记录“∥”有示两向量平行。（5）混合积：称为向量的混合积，其
27、几何意义是以向量a,b,c为相邻的三条棱的平行六面体的有向体积。用坐标表示为25混合积的性质：①混合积中相邻的两个向量位置互换一次，则混合积变号，即②三个向量a,b,c共面的充要条件是。3．向量在有向轴上的投影已知空间一点A以及一有向轴u，通过点A作轴u的垂直平面π，那么平面π与轴u的交点称为点A在轴u上的投影。u°是与轴u同方向的单位向量，若向量u°,那么称为轴u上的有向线段，并称λ为有向线段的值。空间一向量的起点和终点在轴u上的投影记为和，则有向线段的值称为向量在轴u上的投影，记做。向量b在向量上的投影为，其中（二）空间解析几何1．直线、平面和曲面平面方程点法式方
28、程其中为平面上一定点，n={A,B,C}为平面的法向量一般式方程n={A,B,C}为平面的法向量截距式方程其中a,bc依次为平面在x,y,z轴上的截距三点式方程平面过空间三点25直线方程点向（对称）式方程其中为直线上一定点，s={l,m,n}为直线的方向向量参数式方程直线过点，它的方向向量s={l,m,n}交线式方程其中为两个平面的法向量，∥曲面方程椭球面方程当或b=c或c=a时为旋转椭球面双曲面方程单叶双曲面双叶双曲面（二次）锥面方程抛物面方程其中pq>0柱面方程F(y,z)=0,母线平行于x轴F(x,z)=0,母线平行于y轴F(x,y)=0，母线平行于z轴旋转曲面
29、方程母线2.点、直线、平面之间的关系（1）两个平面之间的关系平面，其中为平面的法向量，平面，其中为平面的法向量。两平面相交？即不成立两平面垂直两平面平行25两平面重合设与之间的夹角？满足（2）两条直线之间的关系设直线，其中为的方向向量，为经过的一点。直线，其中为的方向向量，为经过的一点。两直线不共面，即混合积，这里两直线不共面但相互重直，但两直线垂直相交，且两直线平行∥,即两直线重合∥∥直线与直线之间的夹角满足（3）平面与直线关系设平面，直线，这里为平面的法向量，为直线方向向量平面π与直线L相交不成立，即平面π与直线L垂直n∥s，即平面π与直线L平行
