第三讲 行列式按行按列展开

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1、教学内容课堂组织单位：理学院应用数学物理系计算数学教研室批准：日期：年月日任课教员：刘静班次上课日期节次上课时数累计时数教学场所06级电子信息3班07.09.213~42620#B10206级合训7、8班07.11.193~426236课程名称：线性代数章节名称：第一章行列式课题：第三讲行列式按行按列展开目的、要求：1.行列式的按行按列展开法则；2.掌握行列式的计算方法。难点、重点：行列式按行按列展开法则及其应用。器材设备：多媒体设备课前检查序号题目学员姓名成绩1行列式的定义2行列式的6条重要性质-8-教学内容课堂组织-8-教学内容课堂组织教学内容、方法、步骤教学内容：本讲主要介绍：1

2、.行列式的按行（列）展开法则；2.掌握行列式的计算方法。教学方法与思路：1.首先介绍余子式和代数余子式的概念；2.对于三阶行列式，容易验证：可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。由此容易想到：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n－1阶行列式来计算？3.给出一个特殊的n阶行列式的计算方法，从而给出一个引理；4.进而介绍行列式的按行（列）展开法则。教学中运用多媒体手段，讲解、板书与教学课件相结合，以讲解为主。教学步骤：1.介绍余子式和代数余子式的概念；2.引理；3.行列式的按行（列）展开法则；4.应用举例。5.小结并布置作业。-8-教学内容课堂组织§6行列式按行按列展开一、行列

3、式的按行按列展开法则以三阶行列式为例，容易验证：问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n－1阶行列式来计算？对于高阶行列式也有同样的结论。1．余子式：在阶行列式中，将元素所在的行与列的元素划去，其余元素按照原来的相对位置构成的阶行列式，称为元素的余子式，记作．2．代数余子式：元素的代数余子式．3.引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即　　．这里首先举一个实例说明其含义。(见多媒体)给出证明(见多媒体)。定理3板书标题于中央12min一般说来，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便，行列式的按行（按列）展开则可以实现将高阶行

4、列式转化为低阶行列式，这正是研究该问题的主要目的。注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。25min此定理叫做行列式的按行按列展开定理．-8-教学内容课堂组织证明：1）假定行列式D的第一行除外都是0，即由行列式定义，D中仅含下面形式的项其中恰是的一般项，所以2）设D的第i行除了外都是0，即把D的第i行依次与第i-1行，第i-2行，……，第2行，第1行进行交换；再将第列与第列，第列，……，第2列，第1列交换，这样共经过次交换行与交换列的步骤。由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，得在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成

5、n个（n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。把D转化为1)的情形利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。-8-教学内容课堂组织3）一般情形证毕。定理４：行列式的任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之各为零，即　　　。证明：由定理３知，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。在中，如果令第

6、i行的元素等于另外一行，譬如第k行的元素，则8min-8-教学内容课堂组织右端的行列式含有两个相同的行，值为0。综上，得公式二、应用举例例5:计算行列式。解：例6计算n阶行列式课间休息6min10min-8-教学内容课堂组织解：将按第一行展开，得递推公式改写为而，，于是有，整理得将上述等式两端分别乘以，然后再相加，得到即得，整理得例7证明范得蒙行列式10min-8-教学内容课堂组织证明：用数学归纳法证。(1)当n=2时,(2)设n－1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。上式右端的行列式是一阶范得蒙行列式，故原式证毕。例8计算Dn=det(aij),其中。解：8min-8-教学内容课堂

7、组织例9，求第一行各元素的代数余子式之和8min-8-教学内容课堂组织解：第一行各元素的代数余子式之和可以表示成小结：本讲介绍了：1.介绍余子式和代数余子式的概念；2.引理；3.行列式的按行（列）展开法则；4.应用举例。3min作业：习题册上同步习题-8-