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时间:2018-07-10
《第三讲 行列式按行按列展开》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、教学内容课堂组织单位:理学院应用数学物理系计算数学教研室批准:日期:年月日任课教员:刘静班次上课日期节次上课时数累计时数教学场所06级电子信息3班07.09.213~42620#B10206级合训7、8班07.11.193~426236课程名称:线性代数章节名称:第一章行列式课题:第三讲行列式按行按列展开目的、要求:1.行列式的按行按列展开法则;2.掌握行列式的计算方法。难点、重点:行列式按行按列展开法则及其应用。器材设备:多媒体设备课前检查序号题目学员姓名成绩1行列式的定义2行列式的6条重要性质-8-教学内容课堂组织-8-教学内容课堂
2、组织教学内容、方法、步骤教学内容:本讲主要介绍:1.行列式的按行(列)展开法则;2.掌握行列式的计算方法。教学方法与思路:1.首先介绍余子式和代数余子式的概念;2.对于三阶行列式,容易验证:可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。由此容易想到:一个n阶行列式是否可以转化为若干个n-1阶行列式来计算?3.给出一个特殊的n阶行列式的计算方法,从而给出一个引理;4.进而介绍行列式的按行(列)展开法则。教学中运用多媒体手段,讲解、板书与教学课件相结合,以讲解为主。教学步骤:1.介绍余子式和代数余子式的概念;2.引理;3.行列式的按行(
3、列)展开法则;4.应用举例。5.小结并布置作业。-8-教学内容课堂组织§6行列式按行按列展开一、行列式的按行按列展开法则以三阶行列式为例,容易验证:问题:一个n阶行列式是否可以转化为若干个n-1阶行列式来计算?对于高阶行列式也有同样的结论。1.余子式:在阶行列式中,将元素所在的行与列的元素划去,其余元素按照原来的相对位置构成的阶行列式,称为元素的余子式,记作.2.代数余子式:元素的代数余子式.3.引理:一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除外都为零,那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积,即 .这里首先举一个实例说明其含义。(见多媒
4、体)给出证明(见多媒体)。定理3板书标题于中央12min一般说来,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,行列式的按行(按列)展开则可以实现将高阶行列式转化为低阶行列式,这正是研究该问题的主要目的。注:行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。25min此定理叫做行列式的按行按列展开定理.-8-教学内容课堂组织证明:1)假定行列式D的第一行除外都是0,即由行列式定义,D中仅含下面形式的项其中恰是的一般项,所以2)设D的第i行除了外都是0,即把D的第i行依次与第i-1行,第i-2行,……,第2行,第1行进行交换;再将第列与
5、第列,第列,……,第2列,第1列交换,这样共经过次交换行与交换列的步骤。由性质2,行列式互换两行(列)行列式变号,得在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n-1)阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。把D转化为1)的情形利用行列式按行按列展开定理,并结合行列式性质,可简化行列式计算:计算行列式时,可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去
6、,直到化为三阶或二阶行列式。-8-教学内容课堂组织3)一般情形证毕。定理4:行列式的任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之各为零,即 。证明:由定理3知,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。在中,如果令第i行的元素等于另外一行,譬如第k行的元素,则8min-8-教学内容课堂组织右端的行列式含有两个相同的行,值为0。综上,得公式二、应用举例例5:计算行列式。解:例6计算n阶行列式课间休息6min10min-8-教学内容课堂组织解:将按第一行展开,得递推公式改写为而,,于是有,整理得将上述等式两
7、端分别乘以,然后再相加,得到即得,整理得例7证明范得蒙行列式10min-8-教学内容课堂组织证明:用数学归纳法证。(1)当n=2时,(2)设n-1阶范德蒙德行列式成立,往证n阶也成立。上式右端的行列式是一阶范得蒙行列式,故原式证毕。例8计算Dn=det(aij),其中。解:8min-8-教学内容课堂组织例9,求第一行各元素的代数余子式之和8min-8-教学内容课堂组织解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成小结:本讲介绍了:1.介绍余子式和代数余子式的概念;2.引理;3.行列式的按行(列)展开法则;4.应用举例。3min作业:习题册上
8、同步习题-8-
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