《高等数学》授课教案

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1、《高等数学》授课教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。2、对数学的新认识（1）新数学观——数学

2、是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。（用变化的观点定义函数），记：（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。(2)值域：函数值的集合，即。例1、求函数的定义域？2、函数的图像：设函数的定义域为D，

3、则点集就构成函数的图像。例如：熟悉基本初等函数的图像。3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。例2、作函数的图像？例3、求函数第40页共40页《高等数学》授课教案三、基本初等函数熟记：五种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。四、复合函数：设y=f(u),u=g(x)，且与x对应的u使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x的复合函数，u称为中间变量。说明：(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。如：就不能构成复合函数。(2)复合函数的

4、定义域：各个复合体定义域的交集。(3)复合函数的分解从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。例5、设例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？(1)(2)(3)五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一个表达式所表示。说明：（1）一般分段函数都不是初等函数，但是初等函数；（2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。思考题：1、确定一个函数需要有哪几个基本要素？[定义域、对应法则]2、思考函数的几种特性的几何意义？[奇偶性、单调性、周期性、有界性]3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数

5、？你是否可以用例子说明？[不能]小结：函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映；复合函数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事物联系的多样性。第二讲导数的概念（一）、极限与导数一、理论基础——极限（复习）1、极限的概念（略讲函数在某点的极限定义）2、极限的四则运算法则（略）3、求函数的极限（几类函数的极限）（1）若为多项式，则例1：求下列极限(1)(2)(3)第40页共40页《高等数学》授课教案（2）若为有理分式且,则（代入法）例2：求下列极限(1)(2)(3)（3）若分式,当时，，则用约去零因子法求极限例3：求下列极限

6、(1)(2)(3)（4）若分式,当时，分子分母都是无穷大，则适用无穷小分出法求极限。例4：求下列极限(1)(2)(3)3、两个重要极限（1）（2）说明：其中可以是的形式，且当时，。例5：求下列极限(1)(2)(3)(4)二、导数定义（复习增量的概念）引例1、速度问题（自由落体运动）引例2、切线问题（曲线）以上两个事例具体含义各不相同，但从抽象的数量关系来看，都是要求函数y关于自变量x在某一点处的变化率，即计算函数增量与自变量增量比值的极限，这种特殊的极限就是函数的导数。解决问题的思路：1、自变量x作微小变化Dx，求出函数在自变量这个小段内的平均

7、变化率，作为点处变化率的近似值；第40页共40页《高等数学》授课教案2、对求Dx®0的极限，若它存在，这个极限即为点处变化率的精确值。定义：设函数在点及附近有定义，当在点取得增量时，相应函数取得增量，若当时，比值的极限存在，则称此极限值为在处的导数或微商。记，即说明：(1)比值是函数在上的平均变化率；而是在处的变化率，它反映函数在点随自变量变化的快慢程度；(2)若不存在（包括），则称在点不可导；(3)若在（a,b)内每点可导，则称函数在（a,b）内可导，记，称为导函数，简称导数。(4)f¢(x)是x的函数，而f¢(x0)是一个数值，f(x)在点

8、处的导数f¢(x0)就是导函数f¢(x)在点x0处的函数值。三、导数与极限的关系导数是一种特殊（比值）的极限，即有导数-à有极限，反之不成立。四、基本