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时间:2019-02-22
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1、高考网www.gaokao.comE1-071 n(>3)名乒乓球选手单打比赛若干场后,任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同,试证明,总可以从中去掉一名选手,而使在余下的选手中,任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同.【题说】 1987年全国联赛二试题3.【证】 用英文字母表示选手,用MA表示A的对手集,并假定A是赛过场次最多(若有并列的可任选一名)的选手.若命题不成立,则存在B、C,使得去掉A后B、C的对手集相同.由于MB≠MC,所以A恰与B、C中一个赛过,不妨设B∈MA、CMA.同样存在D、E,D∈MC、EMC,去掉C后,D、E的对
2、手集相同.因为AMC,所以D不是A;又D∈MC,所以D∈MB,即B∈MD=ME∪{C},从而B∈ME.CME,而去掉A后,B、C的对手集相同,因此E=A.于是MA=ME=MD{C},即MA比MD少一个元素C,与A为赛过场次最多的假设矛盾.命题得证.E1-072 一个俱乐部中有3n+1个人,每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球,如果每个人都有n个人与他打网球,n个人与他下棋,n个人与他打乒乓球,证明俱乐部中有3个人,他们之间玩的游戏是三种俱全.【题说】 1987年匈牙利数学奥林匹克题3.【证】 将人看作平面上的点,得到一个有3n+1个点的图(假定
3、任意三点都不在一直线上),当两个人玩网球或象棋或乒乓球时,我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线,需要证明的是,一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形.自一点引出的3n条线段中,如果某两条线段的颜色不同,就称它们构成一个“异色角”.考虑异色角的个数.由于自每一点引出n条红线,高考网www.gaokao.com高考网www.gaokao.com角形中有3个异色角.这个三角形的三条边颜色互不相同,即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全.E1-073 在一块平地上有n个人,对每个人,他到其他人的距离均不相同,每人都有一把水枪,当发出火警信号时
4、,每人用枪击中距他最近的人,当n为奇数时,证明至少有一个人身上是干的.当n为偶数时,此结论是否正确?【题说】 第十九届(1987年)加拿大数学奥林匹克题4.【证】 设n=2m-1,对m进行归纳,m=1,结论显然正确.假设n=2k-1时结论正确,对于2k+1个人,其中距离最近的两人设为A、B.剩下的2k-1人中,依归纳假设,有一个人C身上是干的.因AC>AB,BC>AB.故把A、B考虑进去时,C身上仍是干的.若n是偶数,则结论不成立.例如n=2m个人站成两排,同排两两相距均大于1米,前后两人相距1米.那么当火警信号发出后,前后两人互射,谁也免不
5、了挨水枪.E1-075 在第一行中写有19个不超过88的自然数,第二行写有88个不超过19的自然数,我们将一行中的一个或数个相连的数称为一段.证明:可以从上述两行数中各选出一段来,使得这两段数的和相等.【题说】 第二十二届(1988年)全苏数学奥林匹克八年级题4.【证】 设a1,a2,…,a19为第一行数;b1,b2,…,b88是第二行数.记 A(i)=a1+…+aiB(i)=b1+…+bi假定
6、 A(19)≥B(88)高考网www.gaokao.com高考网www.gaokao.com(对于A(19)<B(88)的情形可类似处理)对于每个i,记ni=min{n;A(n)≥B(i),1≤n≤19}根据假设,这样的ni是存在的.我们来考察88个差数A(ni)-B(i).显然它们的值为整数,且都在0至87之间,这是因为如果这88个差数互不相同,则它们之中必有一个为0,于是我们的命题获证.否则,这88个差数中至少有某两个相等,不妨设i1=l,i2=k,l<k使得A(nl)-B(l)=A(nk)-B(k)于是就有A(nl)-A(nk)=B(l
7、)-B(k)显然,题意中的19、88可以换成任意自然数.E1-076 将8×8方格纸板的一角剪去一个2×2正方形,问余下的60个方格能否剪成15块形如的小纸片?【题说】 第四届(1989年)东北三省数学邀请赛二试题3.【解】 如图a,在余下的60个方格中填上1与-1,从左到右每列正负相间.显然任一块剪下的纸片中,四个数的和为2或-2.若能剪成15块,设其中和为2的有x块,和为一2的有y块,则这方程组的唯一解x=y=15/2不是整数,这就表明不可能剪成15块所述形状的纸片.高考网www.gaokao.com高考网www.gaokao.com【别
8、解】 若将小方格如图b填上1和-1,则任一块剪下的纸片中数字之和为1或-1.于是15块数字总和不为0,但整个图b数字之和为0.矛盾.E1-077 有五只猴子和五个梯
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