二次函数复习一.doc

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1、高考网www.gaokao.comE1-071 n（＞3）名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明，总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同．【题说】 1987年全国联赛二试题3．【证】 用英文字母表示选手，用MA表示A的对手集，并假定A是赛过场次最多（若有并列的可任选一名）的选手．若命题不成立，则存在B、C，使得去掉A后B、C的对手集相同．由于MB≠MC，所以A恰与B、C中一个赛过，不妨设B∈MA、CMA．同样存在D、E，D∈MC、EMC，去掉C后，D、E的对

2、手集相同．因为AMC，所以D不是A；又D∈MC，所以D∈MB，即B∈MD=ME∪{C}，从而B∈ME．CME，而去掉A后，B、C的对手集相同，因此E=A．于是MA=ME=MD{C}，即MA比MD少一个元素C，与A为赛过场次最多的假设矛盾．命题得证．E1-072 一个俱乐部中有3n+1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n个人与他打网球，n个人与他下棋，n个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．【题说】 1987年匈牙利数学奥林匹克题3．【证】 将人看作平面上的点，得到一个有3n+1个点的图（假定

3、任意三点都不在一直线上），当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．自一点引出的3n条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n条红线，高考网www.gaokao.com高考网www.gaokao.com角形中有3个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．E1-073 在一块平地上有n个人，对每个人，他到其他人的距离均不相同，每人都有一把水枪，当发出火警信号时

4、，每人用枪击中距他最近的人，当n为奇数时，证明至少有一个人身上是干的．当n为偶数时，此结论是否正确？【题说】 第十九届（1987年）加拿大数学奥林匹克题4．【证】 设n=2m-1，对m进行归纳，m=1，结论显然正确．假设n=2k-1时结论正确，对于2k+1个人，其中距离最近的两人设为A、B．剩下的2k-1人中，依归纳假设，有一个人C身上是干的．因AC＞AB，BC＞AB．故把A、B考虑进去时，C身上仍是干的．若n是偶数，则结论不成立．例如n=2m个人站成两排，同排两两相距均大于1米，前后两人相距1米．那么当火警信号发出后，前后两人互射，谁也免不

5、了挨水枪．E1-075 在第一行中写有19个不超过88的自然数，第二行写有88个不超过19的自然数，我们将一行中的一个或数个相连的数称为一段．证明：可以从上述两行数中各选出一段来，使得这两段数的和相等．【题说】 第二十二届（1988年）全苏数学奥林匹克八年级题4．【证】 设a1，a2，…，a19为第一行数；b1，b2，…，b88是第二行数．记                                     A（i）=a1+…+aiB（i）=b1+…+bi假定                                       

6、 A（19）≥B（88）高考网www.gaokao.com高考网www.gaokao.com（对于A（19）＜B（88）的情形可类似处理）对于每个i，记ni=min{n；A（n）≥B（i），1≤n≤19}根据假设，这样的ni是存在的．我们来考察88个差数A（ni）-B（i）．显然它们的值为整数，且都在0至87之间，这是因为如果这88个差数互不相同，则它们之中必有一个为0，于是我们的命题获证．否则，这88个差数中至少有某两个相等，不妨设i1=l，i2=k，l＜k使得A（nl）-B（l）=A（nk）-B（k）于是就有A（nl）-A（nk）=B（l

7、）-B（k）显然，题意中的19、88可以换成任意自然数．E1-076 将8×8方格纸板的一角剪去一个2×2正方形，问余下的60个方格能否剪成15块形如的小纸片？【题说】 第四届（1989年）东北三省数学邀请赛二试题3．【解】 如图a，在余下的60个方格中填上1与-1，从左到右每列正负相间．显然任一块剪下的纸片中，四个数的和为2或-2．若能剪成15块，设其中和为2的有x块，和为一2的有y块，则这方程组的唯一解x=y=15／2不是整数，这就表明不可能剪成15块所述形状的纸片．高考网www.gaokao.com高考网www.gaokao.com【别

8、解】 若将小方格如图b填上1和-1，则任一块剪下的纸片中数字之和为1或-1．于是15块数字总和不为0，但整个图b数字之和为0．矛盾．E1-077 有五只猴子和五个梯