《函数的值域》教学思考

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1、《函数的值域》教学思考青岛二中周锋函数是屮学数学的核心内容，它不仅与方程和不等式有着本质的内在联系，而且作为一种重要的思想方法，在所有内容当中都能够看到它的作用，这就决定了在高考当中的重要地位。函数的值域就是函数值的取值范围，它虽然由函数的定义域及对应法则完全确定，但是确定值域仍是较为困难的，这些使函数的值域成为历年高考必考的重点之一。而如何求函数的的值域却令大多数同学头疼，因为函数千变万化，各不相同，对函数值域的求法也各种各样。常用的求函数值域的方法有：配方法、换元法、图像法、利用函数的单调性法等，方法众多。有的同学学会了各种方法，却不清楚每种方法适合什

2、么样的函数，所以在解题时各种方法乱套，或者方法一种一种的去尝试。导致这种情况的根源是没有把握好函数的特点，只是注重了方法。现在高中阶段所接触的函数主要是棊本初等函数,比如一次函数、二次函数、反比例函数等，再其他一些就是由基本初等函数构成的复合函数。为了避免学生在学习函数的值域过程中出现上述问题，我认为教师在讲授函数的值域时应抓住基木初等函数的特点，重点讲解好如何利用基木初等函数的定义域及性质来求解函数的值域。这样学生就通过函数的形式、类别来寻求解决值域问题的方法，符合形彖思维的范畴。正如前苏联伟大教育家苏霍姆林斯基所说的“直观性是一种发展观察力和发展思维的

3、力量，它能给认识带來一定情绪色彩。”形象思维是思维的主要形式之一，主要是指人们获得表象，根据表象创造的思维活动，没有形象思维就没有创新。现列出我讲解《函数的值域》时重点部分的教学实录，供大家批评指正。师：题组1：已知函数Vf氏,当①兀€【0,+«＞）②兀€[0,4]③兀u[4,16]时，求函数的值域。（学牛思考解答）生：①丿曰0平），②yw[0,2],③g2,4],师：你是怎样得到答案的？（步步紧逼，让学生将自己的思维过程在课堂上展示出来，让所有同学加以辨析和借鉴）生1：将o和+c□代入丘,将o和4代入尺,……就得到了答案。师：生1的答案正确吗？解法好吗？

4、（鼓励其他同学对已有的方法进行质疑，提高学生的辨析能力以及对真理的向往心理）生厶答案正确，但解法不好，他的答案是蒙对的。如果y=^的图像不是单纯上升，那么生1的做法可能就会岀错。我认为根据『=五的图像来解决问题更好一些。师：如何利用图像？（迫使学生发表自己的看法）生2：画出，=五的图像，观察当兀曰0,+°°）、兀曰0,4]和兀曰4,16]时，寻找满足题意的点的纵坐标的范围，于是得到值域。师：好一个“满足题意的点的纵坐标的范围”，（适时地给学生以鼓励，让学生有一股成就感，这样会更好的调动他们思考的积极性）这就是y=^的值域在坐标系屮的体现。利用函数的几何图像

5、來研究、解决代数问题，非常形彖而且直观，我们称这种思想方法为……生（齐）：数形结合。师：试看下一个问题：试求y=1的值域。生3：把»+1看作一个整体，vx2+l>l,aje^+oo）,师：妬再解决下一题组:求下列函数的值域:①，=J，"；②P,（在学生自己逐渐发现的基础上，通过难易适中的题目引导学生逐步深入）生4：①，一1王°,（2）0

6、表达式看成一个整体来研究。（简单的提示后让学生自我归纳针对此类题目的解法，迫使其努力思考）师：像刚才生5所说的，如果我们再用一个未知量来代替根式下的表达式，那么这种方法可以称之为……生（齐）：换元法。教师用投影仪展示下一题组：求下列函数的值域。（难度再次加深，但是在学生自我研究自我发现的基础上，解决这些问题不再困难）①y=-jx2+4x+1+3②，=3-Jx2+4x+1③y=V-x2+4x—1+3生：①x2+4x+l>-3,且在二次根式下，二云+4兀+1王0,二7x2+4x+l>0,..ye[3,+co）@vx2+4x+1>0,所以由不等式的性质得7巳-6

7、3]③・・・一兀2+4兀一].位于二次扌艮式下,0<-x2+4x-l<3,0<+4x-1<、河,--yg[3,3+^]师：哪位同学描述一下具体解决这类问题的思想方法？生6：寻找突破点，抓住突破口，重点研究二次根式下的表达式的最值，然后再利用『=五的图像和不等式的性质求解。（让学牛再次归纳）师：再研究一下我们刚才提岀来的思想方法具体适合什么样类型的问题？生：对于根式类的函数（只含一个根式）求值域的问题，可以采用上述思想方法。丄外对于，=x以及由此推广岀来的函数的求值域问题，我们也可以采用同样的方法解决，重点在于寻找突破口。我在上课时采用的题目如下：丄题组1:

8、求函数的值域：yX,@X>1;②兀王一].且兀疋0；（3）-l