求函数的值域

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1、求函数的值域四川成都高新一中周先华地址：四川省成都高新一中邮编：610041求函数的值域是函数教学中的一个难点，下面结合实例，介绍求函数值域的几种常用的初等方法，及它们分别适用的题型。1．观察法：根据各种非负数的特点，及函数的图象、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到一些简单的复合函数的值域。例1.求函数的值域分析：因为x-2≠0，则，所以>0且≠1，所以y<2且y≠1.点评：观察法适合的题型是函数解析式中自变量x只出现了一次。2.配方法：充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的值域求出函数的值域。例2.求函数y=-x的值域分析：先求定义

2、域为x≥0，≥0则又y=，可视为关于的二次函数，由图象知，y≤.点评：配方法适合的题型是二次型函数y=Af2(x)+Bf(x)+C。3.几何法（或数形结合法）:利用函数的图象或结合几何图形的方法。uA（,0）vo图1例3.求函数y=的值域分析：令，函数y=u+v，则u2-v2=2(u≥0,v≤0)所表示的曲线如图1，可由等轴双曲线在第四象限内的部分（含顶点）与直线y=u+v有公共点时的截距的范围，求出引函数的值域。当直线过顶点A（，0）时，y的最大值为，当直线为渐近线u+v=0时与双曲线无交点，所以y∈(0,].点评：利用图形的几何性质解题，要求

3、对几何知识有非常好的理解能力；适用于较方便利用代数式的几何意义的题目。例4.求函数y=的值域分析：y==，可视y为过点A（cosx,-sinx）、B(2,0)的直线的斜率。显然，A点的轨迹为一个单位圆，如图2，y=为定点B（2，0）到单位圆上的点的斜率的取值范围，即切线位置时，≤≤，Bxy0则y∈[,].点评：（1）斜率公式用来解决此类题比较方便，原因是公式简洁、图形上斜率直观。（2）几何法适合题型：较容易地与几何图形联系的题型。4.不等式法：运用均值不等式例5.求函数（x>1）的值域。分析：=,当且仅当即x=2时取得“=”号，因此y∈[7,+∞

4、).点评：（1）不等式法适合于解析式能运用均值不等式的函数；（2）使用中注意公式成立的条件“正、定、等”。5.换元法：分为三角换元与代数换元。例6．求下列函数的值域（1）(2)分析：（1）函数的定义域为,令t=(t≥0)，则x=1-t2，y=1-t2+t=-(t-)2+由二次函数的图象可知，y∈(-∞,](2)函数的定义域为-1≤x≤1，令x=sint(t∈[-,]),则y=sint+cost=sin(t+),由t+∈[-,],得y∈[-1,].点评：（1）题用代数换元法，适用于y=(其中f(x)与g(x)均为x的一次式)（2）题用三角换元法，适

5、用于y=(其中f(x)为x的特殊二次式)（3）换元法是求无理函数值域的常用方法，在设出新元t(或θ)后，新元的范围的限定要以既不影响x的取值，运算起来又方便为原则。6.分离常数（或整式）法：对某些分式型的函数进行分离，使函数解析式更为简洁。例7.求y=的值域。分析：原函数可化为：y=1-，自变量在函数式中只出现了一次，由观察法可求出值域。点评：类似于y=的函数均适用此法，但这种类型的函数往往也可用反函数法求解。7.反函数法：求已知函数的反函数的定义域即为原函数的值域。例8.求y=的值域。分析：求出此函数的反函数为f-1(x)=,其中x≠,即原函数

6、值域为{y

7、y≠}点评：此方法对y=,且其值域为{y

8、y≠}.8.判别式法:把函数解析式化为关于x的二次式，利用一元二次方程的根的判别式求出值域。例9.求y=的值域。分析：原函数解析式变为：(y+1)x2-x+2y+2=0,当y=-1时，x=0成立；当y≠-1时，此方程的判别式△≥0解出y∈[-1-,-1+]。点评：（1）此法适用≠0）型的函数；（2）在解题过程中注意对二次项系数是否零的讨论。（3）对形如例5的y=(a,m均不为0)的函数，可用前面的均值不等式，也可用判别式法。9.单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域。

9、例10.求的值域。分析：把原解析式化成：y=,显然是定义域内的减函数，由定义域{x

10、x≥1},当x=1时，原函数取得最大值为y=,所以值域为{y

11、y∈(0,)}点评：对于一些能确定单调性的函数，用此法是最佳选择。10.求导法：先利用导函数求出极大值、极小值，再确定最值从而求出值域。例11.求函数y=x3-3x2+10(x≥-1)分析：原函数的导函数为y’=3x2-6x,则当x≥2或x≤0时y’>0，原函数递增，否则递减；x=0与x=2分别为极大值与极小值点，结合图象可知，y无最大值，且最小值在f(-1)=6与f(2)=6的较小者，即y∈[6,+∞

12、).点评：对一些易于求导函数的类型，适合用此方法。11.有界性法:充分利用三角函数或一些非负数的式子的有界性，求出值域。例12.求函数的