怎样求函数的值域.doc

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1、......求函数值域的常用方法在函数的三要素中，对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下。1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1求函数y=3-的值域。解：0-03-3故函数的值域是：（-∞，3]2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一

2、。例2、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。解：将函数配方得：y=（x-1）+4，x[-1，2]，由二次函数的性质可知：当x=1时，y=4当x=-1，时=8故函数的值域是：[4，8]3、判别式法.学习参考.......例3求函数y=的值域。解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1）-x+（y-1）=0（1）当y≠1时，xR,△=(-1)-4(y-1)(y-1)0解得：y（2）当y=1，

3、时，x=0,而1[,]故函数的值域为[，]例4求函数y=x+的值域。解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0（1）xR，△=4（y+1）-8y0解得：1-y1+但此时的函数的定义域由x（2-x）0，得：0x2。由△0，仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[，]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。0x2，y=x+

4、0，=0，y=1+代入方程（1），解得：=[0，2]，即当=时，原函数的值域为：[0，1+]。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。.学习参考.......4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例5求函数y=值域。解：由原函数式可得：x=则其反函数为：y=其定义域为：x≠故所求函数的值域为：（-∞，）5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以

5、利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例6求函数y=的值域。解：由原函数式可得：=>0，>0解得：-1

6、参考.......当x=10时，=+=33。故所求函数的值域为：[，33]。例8求函数y=-的值域。解：原函数可化为：y=令y=，=，显然y，在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y=y+在[1，+∞）上也为无上界的增函数。所以当x=1时，y=+有最小值，原函数有最大值=。显然y>0，故原函数的值域为(0,]。7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三

7、角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例9求函数y=x+的值域。解：令x-1=t，（t0）则x=+1∵y=+t+1=+，又t0，由二次函数的性质可知当t=0时，y=1，当t→0时，y→+∞。故函数的值域为[1，+∞）8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

8、例10求函数y=+的值域。解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣.学习参考.......上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10故所求函数的值域为：[10，+∞]例11求函数y=