2.1函数的值域

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1、函数的值域　　一、知识点内容和要求：　　掌握求某些函数的值域的常用方法　　了解函数最值的概念，掌握某些函数求最值的常用方法 　　二、教学过程设计　　（一）复习函数的定义域值域的概念　　（二）新课函数的值域　　函数的值域决定于函数的定义域和对应法则，求值域对应先求定义域，确定函数的值域，常用的方法或技巧有：　　利用函数的单调性观察分析；利用互为反函数的定义域与值域的互换关系；利用配方法；利用换元法；利用判别式法；利用函数同象数形结合等。　　1、利用函数的值域　　（1）（2）　　解：（1）x≥2，，∴y≥0，∴值域[2，+∞）　　（2） 　　2、求反函数法　　例2、

2、求下函数的值域：　　（1）（2）　　解：（1）法一：　　∵y≠1∴值域（-∞，1）v（1，+∞）　　法二：求：函数的反函数为：∴x≠1（反函数的定义域（-∞，1）v（1，+∞））∴函数的值域为（-∞，1）v（1，+∞）　　（2）（-1，1]　　练习：求下列函数值域：①值域（-∞，-3）v（-3，1）v（1，+∞）　　②值域[-1，1） 　　3、配方法　　例3、求下函数值域　　（1）[1，+∞）　　（2）值域：[0，]　　（3）值域：[，+∞） 　　4、换元法　　例4、求函数　　此题所给出这类无理函数，一般采用换元法，转化为二次函数的条件最值来求值域，也可利用判别

3、别式法求值域，但变形可能引起值域的变化，因以必须进行检验。　　解法一、换元法　　　　当t=1时，y有最大值4　　∴函数值域为（-∞，+4] 　　解法二、判别式法　　函数定义域为由所给函数，变形整理可得：　　　　∵x∈R　　∴　　∴y≤4，而当y=4时，x=3∈　　∴函数的值域为（-∞，4] 　　5、判别式（注意换用，再扩大范围）　　例5、求下列函数的值域　　（1）（2）　　解：（1）定义域：R由所给函数，可得：　　　　若y≠0，　　若y=0，x=0∈R　　∴值域为　　（2）v（0，+∞） 　　练习：求下列函数的值域　　（1）值域[9，+∞）　　（2）值域（0，3

4、2]　　（3）值域　　（4）值域（-∞，-1]　　（5）值域 　　2、函数的最值　　1、定义：设函数y=f（x）定义在区间Z上，若对于任意x∈Z，存在∈Z，满足　　；　　。　　注意：①最值与值域相关，对整个区间而方，极值或边界点；　　②值域是开区间，无最值；　　③单调函数值只能在边界处取到。　　2、求最值的常用方法与求值域方法类似。　　（1）与二次函数有关的最值。　　例1、求下列函数的最值　　　　解：（1）当x=-1时，y最小值=-3　　（2）当x=0时，y最小值=-1；当x=3时，y最大值=29；　　（3）当x=-2时，y最小值=-1；当x=-3时，y最大值=

5、5；　　（4）当x=-1时，y最小值=-3；当x=2时，y最大值=15；　　（5）当x=-1时，y最小值=-3；无最大值。　　例2、求下列函数的最值。　　（1）　　（2）　　（3）当x=1时，y最小值=1，当x=3时，y最大值=2　　（4）当x=2时，y最小值=16。　　例3、求函数x∈[0,1]　　若a≤0时，当x=0时，y最小值=0，当x=1时，y最大值=1-2a；　　若a≥1时，当x=0时，y最小值=0，当x=1时，y最大值=1-2a；　　若0≤a≤时，当x=a时，y最小值=，当x=1时，y最大值=1-2a；　　若≤a≤1时，当x=0时，y最小值=，当x=

6、a时，y最大值=0。　　例4、a∈R，求的最小值。　　提示：换元，设，　　a＜2时，当x=0，y最小值=2-4a　　a≥2时，当，y最小值=。　　例5、已知，且x∈[t，t+1]，讨论f（x）的最值情况。　　解：，x∈[t，t+1]，　　当时，函数在x=2时，有最小值-1，在x=t处有最大值f（t）；　　当时，函数有最小值f（2）=-1，有最大值；　　当时，函数有最小值f（2）=-1，有最大值f（t+1）；　　当t≤1时，函数为减函数，最小值为f（t+1），最大值为f（t）；　　当t≥2时，函数为增函数，最小值为f（t），最大值为f（t+1）。　　例6、设x+2

7、y=3（x≥0，y≥0）求的最大值。　　提示：代入消元，并注意确定x，y的取值范围，当x=3时，取最大值9。 　　作业：1、求下列函数的值域：　　（1）（2＜X＜4）（，1）　　（2）（-10，1]v[3，+∞）　　（3）[]　　　　2、求下列函数的最值。　　（1）x∈[-3，0]　　　（1）y最大值=-6，y最小值=-36；　　（2）x∈R　　　（2）y最小值=-，无最大值；　　（3）∈　　　（3）y最大值=，y最小值=0；　　（4）　　　（4）y最大值=2，y最小值=-1。　　3、已知f（x）=-x（x-a）且x∈[-1，1]，求：当a＜-2，（2）-2≤a

8、≤2，（3）a＞2时，函