2.1函数值域的几种求法

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1、函数值域的若干求法一.函数值域的几点解读在函数中，与自变量的值对应的的值叫做函数值，函数值的集合即为函数的值域。实质上1.当函数用表格给出时，其值域指表格中实数的集合。2.当函数的图象给出时，其值域即为图象在轴上的投影所覆盖的实数的集合。3.当函数用解析式给出时，其值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。4.当函数由实际问题给出时，其值域由问题的实际意义确定。二.求函数值域的几种方法（一）观察法：对于一些简单的函数，可以通过定义域及对应法则，用观察的方法来确定函数的值域。例1：求下列函数的值域解：且所以函数的值域是：所

2、以函数的值域是（二）配方法：对于二次三项式有关问题，常根据求解问题的要求，采用配方法来解决。对于含有二次三项式的函数，也常用配方法来求其值域。例2：求下列函数的值域解：配方得：所以函数的值域是：5显然的最大值是9函数的最大值是3且所以函数的值域是：（三）图象法就是利用函数图象的直观性求函数值域的方法例3：求函数的值域解：将函数化为分段函数：函数图象如图示：显然所以函数的值域是：（四）换元法：对于一些无理函数或超越函数，通过换元把它们化为有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域求出。例4：求下列函

3、数的值域（1）（2）解：令则由二次函数最大值是知当时当时所以函数的值域是：（2）设则且于是5所以函数的值域是：（五）反函数法若一个函数是到值域上的一一映射，且反函数易求，则可利用反函数的定义域求原函数的值域例5：求下列函数的值域（1）（2）解：（1）易求原函数的反函数为：由于原函数的定义域为可得不等式组所以或所以函数的值域是：（2）易知原函数的定义域为R，由函数解析式解出有：当时有故当且仅当时有实数解所以函数的值域是：（六）判别式法：即利用一元二次方程根的判别式求。若一个有理函数式可化为关于的一元二次方程，则可利用来求

4、函数值域。例6：求下列函数的值域（1）5（2）解：（1），由可知R分母恒不为0，则原式可化为整理成关于的方程得：解得：（若方程显然不成立）所以函数的值域是：（2），将函数两边平方得：于是:由于是实数，故或得：因为函数的定义域为，显然所以函数的值域是：（七）不等式法利用基本不等式求函数的值域，要注意条件“一正、二定、三相等”例7：求函数的值域解：，当时，当时所以函数的值域是：（八）函数单调性法5利用函数在定义域中的单调性求其值域例8：求函数的值域解：令，故不能使用不等式，但在时为增函数所以函数的值域是：（九）分离系数法对

5、于一次分式函数，用分离系数法，则较为简单例9：求的值域解：且所以函数的值域是：（十）三角函数法即利用三角函数的有界性求函数值域例10：（十一）导数法求函数的值域解：令得，由于，故比较可知的最大值是3，最小值是，值域为（十一）几何意义法把一些代数式赋予一定的几何意义，如直线的斜率，线段的长度等。可以将代数中的求最值问题转化为几何中的问题解决，实现数形转化5