浅析无理型函数值域的几种常规求法

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1、浅析无理型函数值域的几种常规求法一、观察法：通过对函数定义域及其解析式的分析，从而确定函数值域。例1．求函数y＝3＋值域。解：∵≥2，∴函数值域为[5，+。二、单调性法：如果函数在某个区间上具有单调性，那么在该区间两端点函数取得最值。例2．求函数y＝x－的值域。　　解：函数的定义域为，函数y=x和函数y＝－在上均为单调递增函数，故y≤＝，因此，函数y＝x－的值域是(-∞，]。三、换元法：通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数转化为代数函数来求函数值域的方法。例3．求函数y＝x+的值域。解：定义域为x∈，令t＝(t≥0)，则x＝于是y＝－(t－1)2＋1，由t≥0知

2、函数的值域为﹙－∞，１]。本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的范围。对于形如“”的函数,此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令，将原函数转化为t的二次函数，当然也适用于“”的函数。例4.求函数的值域。解：令，则且，则。当，即时，，当时，。故函数值域为5。另外对于根号下的是2次的，我们同样可以处理：例5．求函数y＝x+的值域。解：∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，∴设x＝cos，∈［0，］则y＝cos+sin＝sin（+），∵∈［0，］，∴+∈［，］，∴sin（+）∈［－，1］，∴sin（+）∈［－1，］，∴函数y＝x+的值域为［－

3、1，］。其次如果有两个根号的话，我们也可以处理：例6.求函数的值域。解：由，得。令且，则。由，得，则，故函数的值域为。对于形如“”的函数,此法适用于两根号内自变量都是一次，且，此时函数的定义域为闭区间，如，则可作代换，且，即可化为型的函数。四、配方法：通过平方或换元化为形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数，借助配方法求函数的值域，要注意x的取值范围。例7．求函数y＝的值域。5解：∵1－x≥0，且x≥0，∴0≤x≤1，又y＞0，∴y2＝x+1－x+2＝1+2令t＝－x2+x＝－（x－）2+，∵0≤x≤1，∴0≤t≤，∴0≤≤，∴y2∈［1，2］，∴函数y＝的值域为［1

4、，］。五、数形结合法：利用函数解析式的几何意义，把求函数值域的问题转化为求直线的斜率或距离的范围问题。　　例8．求函数f(x)＝－的值域。解：f(x)＝－＝－f(x)表示动点P(x，0)到点A(－1，2)与点B(－1，1)的距离之差，求f(x)的值域就转化为求P(x，0)到点A(－1，2)与点B(－1，1)的距离之差的范围问题（如图），∵

5、PA

6、－

7、PB

8、≤

9、AB

10、(当且仅当P、A、B共线时取等号)，∴

11、PA

12、－

13、PB

14、≤1，即f(x)≤1，∴f(x)＝－的值域是。高中数学无理函数值域的常见求法一、形如“”的函数例1.求函数的值域。解：令，则且，则。当，即时，，当时，。

15、故函数值域为。5说明：此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令，将原函数转化为t的二次函数，当然也适用于“”的函数。二、形如“”的函数例2.求函数的值域。解：由。令且[]，则。由，得。当时，；当时，。故函数值域为。说明：这类函数根号内外自变量的次数不同，不适合第一类型的解法。又且的函数定义域一定为闭区间，如，则可作三角代换为且，即可化为＋k型函数。至于且及其他类型，可自己分析一下。三、形如“”的函数例3.求函数的值域。解：由，得。令且，5则。由，得，则，故函数的值域为。说明：此法适用于两根号内自变量都是一次，且，此时函数的定义域为闭区间，如，则可作代换，且，

16、即可化为型的函数。5