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时间:2017-09-11
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1、浅析无理型函数值域的几种常规求法一、观察法:通过对函数定义域及其解析式的分析,从而确定函数值域。例1.求函数y=3+值域。解:∵≥2,∴函数值域为[5,+。二、单调性法:如果函数在某个区间上具有单调性,那么在该区间两端点函数取得最值。例2.求函数y=x-的值域。 解:函数的定义域为,函数y=x和函数y=-在上均为单调递增函数,故y≤=,因此,函数y=x-的值域是(-∞,]。三、换元法:通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数转化为代数函数来求函数值域的方法。例3.求函数y=x+的值域。解:定义域为x∈,令t=(t≥0),则x=于是y=-(t-1)2+1,由t≥0知
2、函数的值域为﹙-∞,1]。本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域,但是换元后要注意新元的范围。对于形如“”的函数,此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数,一般令,将原函数转化为t的二次函数,当然也适用于“”的函数。例4.求函数的值域。解:令,则且,则。当,即时,,当时,。故函数值域为5。另外对于根号下的是2次的,我们同样可以处理:例5.求函数y=x+的值域。解:∵1-x2≥0,∴-1≤x≤1,∴设x=cos,∈[0,]则y=cos+sin=sin(+),∵∈[0,],∴+∈[,],∴sin(+)∈[-,1],∴sin(+)∈[-1,],∴函数y=x+的值域为[-
3、1,]。其次如果有两个根号的话,我们也可以处理:例6.求函数的值域。解:由,得。令且,则。由,得,则,故函数的值域为。对于形如“”的函数,此法适用于两根号内自变量都是一次,且,此时函数的定义域为闭区间,如,则可作代换,且,即可化为型的函数。四、配方法:通过平方或换元化为形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数,借助配方法求函数的值域,要注意x的取值范围。例7.求函数y=的值域。5解:∵1-x≥0,且x≥0,∴0≤x≤1,又y>0,∴y2=x+1-x+2=1+2令t=-x2+x=-(x-)2+,∵0≤x≤1,∴0≤t≤,∴0≤≤,∴y2∈[1,2],∴函数y=的值域为[1
4、,]。五、数形结合法:利用函数解析式的几何意义,把求函数值域的问题转化为求直线的斜率或距离的范围问题。 例8.求函数f(x)=-的值域。解:f(x)=-=-f(x)表示动点P(x,0)到点A(-1,2)与点B(-1,1)的距离之差,求f(x)的值域就转化为求P(x,0)到点A(-1,2)与点B(-1,1)的距离之差的范围问题(如图),∵
5、PA
6、-
7、PB
8、≤
9、AB
10、(当且仅当P、A、B共线时取等号),∴
11、PA
12、-
13、PB
14、≤1,即f(x)≤1,∴f(x)=-的值域是。高中数学无理函数值域的常见求法一、形如“”的函数例1.求函数的值域。解:令,则且,则。当,即时,,当时,。
15、故函数值域为。5说明:此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数,一般令,将原函数转化为t的二次函数,当然也适用于“”的函数。二、形如“”的函数例2.求函数的值域。解:由。令且[],则。由,得。当时,;当时,。故函数值域为。说明:这类函数根号内外自变量的次数不同,不适合第一类型的解法。又且的函数定义域一定为闭区间,如,则可作三角代换为且,即可化为+k型函数。至于且及其他类型,可自己分析一下。三、形如“”的函数例3.求函数的值域。解:由,得。令且,5则。由,得,则,故函数的值域为。说明:此法适用于两根号内自变量都是一次,且,此时函数的定义域为闭区间,如,则可作代换,且,
16、即可化为型的函数。5
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