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《浅析无理型函数值域的几种常规求法讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、浅析无理型函数值域的几种常规求法一､观察法:通过对函数定义域及其解析式的分析,从而确定函数值域｡例1.求函数y=3+值域｡解:∵≥2,∴函数值域为[5,+｡二､单调性法:如果函数在某个区间上具有单调性,那么在该区间两端点函数取得最值｡例2.求函数y=x-的值域｡解:函数的定义域为,函数y=x和函数y=-在上均为单调递增函数,故y≤=,因此,函数y=x-的值域是(-∞,]｡三､换元法:通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数转化为代数函数来求函数值域的方法｡例3.求函数y=x+的值域｡解:定义域为x∈,令t=(t≥0),则x=于是y=-(t-1)2
2、+1,由t≥0知函数的值域为﹙-∞,1]｡本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域,但是换元后要注意新元的范围｡对于形如“”的函数,此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数,一般令,将原函数转化为t的二次函数,当然也适用于“”的函数｡例4.求函数的值域｡解:令,则且,则｡当,即时,,当时,｡故函数值域为｡5另外对于根号下的是2次的,我们同样可以处理:例5.求函数y=x+的值域｡解:∵1-x2≥0,∴-1≤x≤1,∴设x=cos,∈[0,]则y=cos+sin=sin(+),∵∈[0,],∴+∈[,],∴sin(+)∈[-,1],∴sin(+)∈[
3、-1,],∴函数y=x+的值域为[-1,]｡其次如果有两个根号的话,我们也可以处理:例6.求函数的值域｡解:由,得｡令且,则｡由,得,则,故函数的值域为｡对于形如“”的函数,此法适用于两根号内自变量都是一次,且,此时函数的定义域为闭区间,如,则可作代换,且,即可化为型的函数｡四､配方法:通过平方或换元化为形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数,借助配方法求函数的值域,要注意x的取值范围｡例7.求函数y=的值域｡解:∵1-x≥0,且x≥0,∴0≤x≤1,又y>0,5∴y2=x+1-x+2=1+2令t=-x2+x=-(x-)2+,∵0≤x≤1,∴0≤t
4、≤,∴0≤≤,∴y2∈[1,2],∴函数y=的值域为[1,]｡五､数形结合法:利用函数解析式的几何意义,把求函数值域的问题转化为求直线的斜率或距离的范围问题｡例8.求函数f(x)=-的值域｡解:f(x)=-=-f(x)表示动点P(x,0)到点A(-1,2)与点B(-1,1)的距离之差,求f(x)的值域就转化为求P(x,0)到点A(-1,2)与点B(-1,1)的距离之差的范围问题(如图),∵
5、PA
6、-
7、PB
8、≤
9、AB
10、(当且仅当P､A､B共线时取等号),∴
11、PA
12、-
13、PB
14、≤1,即f(x)≤1,∴f(x)=-的值域是｡高中数学无理函数值域的常见求法一､
15、形如“”的函数例1.求函数的值域｡解:令,则且,则｡当,即时,,当时,｡故函数值域为｡说明:此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数,一般令,将原函数转化为t的二次函数,当然也适用于“”的函数｡5二､形如“”的函数例2.求函数的值域｡解:由｡令且[],则｡由,得｡当时,;当时,｡故函数值域为｡说明:这类函数根号内外自变量的次数不同,不适合第一类型的解法｡又且的函数定义域一定为闭区间,如,则可作三角代换为且,即可化为+k型函数｡至于且及其他类型,可自己分析一下｡三､形如“”的函数例3.求函数的值域｡解:由,得｡令且,则｡由,得,5则,故函数的值域为
16、｡说明:此法适用于两根号内自变量都是一次,且,此时函数的定义域为闭区间,如,则可作代换,且,即可化为型的函数｡5
