浅谈函数值域的几种求法

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1、精品论文荟萃浅谈函数值域的几种求法内蒙古乌海市第一中学周鹤函数的值域是中学数学最基本的概念之一，也是教学中的一大难点，特别是一些结构较为复杂的函数在求值域时，学生感到无从下手，从而直接影响到涉及与范围有关的数学题的求解。下面就介绍几种求函数值域的常用方法。一．配方法。如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域。例1．求函数的值域分析：该题比较难处理的是根号，如果将根号看作是一个整体，那么，则原函数就可以写成一个二次函数的形式，用配方法就可以求出其

2、值域。解：令，则（）于是原函数变为，即值域为。[评注]形如的函数均可用此法（换元、配方）求值域。二．判别式法。一个二次分式函数在自变量没有其它限制时就可以用判别式法去值域。其方法是将等式两边同乘以移项整理成一个关于的一元二次方程，方程有实数解则判别式大于零，得到一个关于的不等式，解出的范围就是函数的值域。三．利用函数的单调性求值域的方法。如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域。例2．求函数（）的值域。解：因为函数都在区间上单调递减，所以函数在区间上是减函数。于是即值域为。四．反函数法

3、。如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。五．利用某些函数的有界性求函数值域的方法。如果函数是由一些有界的初等函数复合而成的，那么就可以考虑用来表示这个初等函数，然后利用初等函数的有界性得到一个关于的不等式，解出即可求出的值域。例3．求下列函数的值域（1）；（2）专业专注118号为您服务-3-精品论文荟萃解：（1）由，所以函数的值域为（0，1）。解法二：因为，所以函数的值域为（0，1）。（2）由得，于是有解得所以函数的值域是。六．利用重要不等式求函数值域的方法。对于一些特殊的分式函数、高

4、于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域。例1．求下列函数的值域（1）；（2）解（1）要使函数有意义，则有。所以函数的值域是（2）因为当且仅当时取等号，所以函数的值域是。七．数形结合的方法。就是将函数与图形有机地结合起来，利用图形的直观性求出函数的值域。例5求函数的值域。分析：该题的两个根号实际上可以看作是两个两点间的距离公式，也就是说表示的是点。而点是轴上的任意点，因此该题就可以等价转化为一条直线上的点到两个定点的距离之和的范围。如图所示轴上的任意点到、两点的距离之和都大于等于、两点间的距离。所以函数的值域是。专业专

5、注118号为您服务-3-精品论文荟萃八．换元法。通过换元我们将生疏的函数结构转化为熟悉函数结构，然后再来求函安息的值域。特别是某些无理函数的值域常用换元法来求。例1．求函数的值域。解：因为函数的定义域是，令，则于是又因为所以，即函数的值域是。求值域的方法远不止上面介绍的几种，但在教学中我们一定要注意通性通法的教学，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。专业专注118号为您服务-3-