2018年秋高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算313空间向量的

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1、3.1.3空间向量的数量积运算学习目标：1.掌握空I'可向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题.(难点)［自主预习•探新知］1.空间向量的夹角(1)夹角的定义图3-1-15己知两个非零向量a，b,在空间任取一点0,作~0A=a,帀=b,则Z/k矽叫做向量a,b的夹角，记作〈8，方〉.(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角〃的取值范围是［0,兀］・特别地，当0=0时，两向量同向共线；当“时，两向量反向共线，所以若a//b,贝l］

2、$丄b.2.空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量日，b,贝ij

3、a

4、

5、2?

6、cos

7、j6

8、cos(a,b)(2)数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(a)・b=入(a•=a・(久方)交换律a•b=b•a分配律a•(b+c)=a•b+a•c(3)空间两向量的数量积的性质:垂直若0是非零向量，贝ij曰丄Zx=>a•3=0共线同向：则a•b=a•b向量反向：则a•b=—a•b数量a•a=aacos(a,a)=ap积的模a=yja•a性质U•引w

9、a

10、•b夹角o•A0为a,b的夹角，则

11、cos&_&b思考：仃)若a・b=0,则一定有$丄&吗？(2)若&・b>0,贝ij>0,故当a•b>0时，〈已•方〉不一定是锐角.［基础自测］1.思考辨析⑴在△肋Q中，〈亦，~BC)=ZB.()(2)在正方体ABCEhA9CfD'中，亦与彳~?的夹角为45°.()(3)0•8=0.()(4)若q・ZK0,贝iJ

12、=c,贝U防B,A.30°B.60°C.90°D.120°D[△FD'Q是等边三角形，〈卩B,、=0QbF=120°.]3.已知a=3,b=2,a•/?=—3,则〈日，b〉=•【导学号：46342138］2r/、a■b—31rLeosb)-

13、a

14、

15、A

16、-3X2-_2-2所以〈=~n.]［合作探究・攻重难］［类一卜例空间向量的数量积运算⑴己知a=3p—2q,b=p+q,p和g是相互垂直的单位向量，则日•方=(A.1B.2C.3D.4(2)如图3-1-16所示，在棱长为1的正四面体肋〃中，E,F分别是肋，初的中点,求值：图3-1-16⑴嬴・BA；(2)云'・

17、场;⑶莎'・DC；⑷莎・CD.［解析］⑴由题意知，P•q=0,6=d=所以a•b=(3p—2<7)•(p+g)=3p‘一2d+p•q=l.［答案］A―►―►］—►—►(2)EF・BA=~BD・BAI—►―►=21^1BAcos〈BD,BA)=zcos60°——1—_>i—丨⑵EF・BD=qBD•BD=^BD2=-⑶防.Ec=*D•辰_*亦•反=_*Xcos60°=-

18、.(4)乔・云7=赢・(乔一走)=亦・乔一亦・AC=AB\ADcos(AB,AD)~Ubl^lcos(AB,AC)=cos60°-cos60°=0.［规律方法］在儿何体中求空间向量的数量积的

19、步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.(4)代入公式a•b=a\bcos〈a,b)求解.［跟踪训练］1.⑴已知空间四边形初①的每条边和对角线的长都等于自，点圧尸分别是处AD的中点，则旋•办=【导学号：46342139］［佃・AF=AB+^BC・—►］—►—►I初+严・妇尹cos60。(2)在四面体创〃C中，棱创，OB,0C两两垂直，且创=1,0B=2.0C=5G対/ABC的重心，则无・(~OA+~OB+~OC)=・y

20、.0G=OA+AG=OA+^AB+AC)A]AA►►=OA+^OB-OA)+10C—OA)]IfIfIf=-OB+-OC^-OA—►—►—►—►(]—►]—►]—►、—►—►—►：・0G・(。4+防+死)=占陽+严'+評丿・(0A+0B+00亦必+*办詁炮+»3士X、#.]［类型?

21、卜例利用数量积证明空间的垂直关系已知空间四边形OABC中，ZAOB=ZBOC=ZAOC,且0A=0B=OC,畑,N分别是OA,臆的中点，G是刖的屮点，求证：OGIBC.[解]连接创；设ZAOB=ZBOC=ZAOC=又设OA=a,OB=b,06—c,则a=