2018版高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算313空间向量的数

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1、3.1.3空间向量的数量积运算【学习目标】1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.常握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.n问题导学知识点一空I、可向量数量积的概念思考1如图所示，在空间四边形中，创=8,肋=6,AC=4fBC=5,Z创C=45°,ZOABW,类比平面向量有关运算，如何求向量励与庞的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.答案•:BC=AC-ABf:.~0A・~BC=~OA・AC-OA・~AB=Al^rlcos(04

2、,~AC)~A

3、^

4、cos(0A,AB)=8X4Xcos135°-8X6Xcos120°=24-16^2.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量來表示该向量，再代入计算.思考2等边△昇力屮，乔与旋的夹角是多少？答案120°.梳理(1)定义：已知两个非零向量日，氏则

5、a

6、

7、A

8、cos(a,b)叫做日，方的数量积，记作a•b.(2)数童积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)•b=入(a•交换律a•b—b•a分配律a•(A+c)=a•b+a•c(3)空间向量的夹角①定义

9、：已知两个非零向量2b,在空间任取一点0,作0A=a.0B=b.则Z应矽叫做向量a,〃的夹角，记作〈£,b〉・②范圉：〈$,b)e[Q,nJ.特别地：当〈日，b)=亍时，$丄〃.知识点二空间向量的数量积的性质题型探究两个向量数量积的性质①若a,b是非零向量，贝!]曰丄AO曰・b=0②若$与方同向，则a•b=a•b；若反向，则a・b=・

10、a

11、•b.特别地，a•a=或$=yja•ao•A③若0为a,〃的夹角，则cos0_&b④a・bW

12、a-b类型一空间向量的数量积运算命题角度1空间向量的数量积基本运算例1(1)下列命题是否

13、正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.®p・6=(p・®p+q•p~Q=Ip2-^1;③若日与(a•b)•c—(a•c)•b均不为0,则它们垂直.解①此命题不正确.•・・M=

14、PF・

15、q

16、2,而(P•q)2=(Ipl•Iq・cos〈p,q))2=p1•qY*cos2(p,q),当且仅当p//q时，p•q=(p•q)2.②此命题不正确.*•*p''—q=IS+g)•(p—q)I=p+q•p—(j•ICOS〈p+q,p—q)I,・••当且仅当(p+q)//(p—q)时，ff—q=p+q•p~q.

17、③此命题正确.Va•[(a•Z>)•c—(a・c)•b]=a•(a•tf)•c—a•(a9c)•b=(a•Z>)(a•c)—(a•方)(a・c)=0,且a与(a•b)•c—(a•c)・方均为非零向量，/.$与(a•A)•c—(a•g)•b垂直.⑵设0=〈曰，方〉=120°,

18、a

19、=3,

20、A

21、=4,求：①日・b；②(3a-2Z?)・(a+2A).解①Tg•〃=

22、引I〃

23、cos〈£,b),・••曰•b=3X4Xcos120°=—6.①・・・(3a-2b)•(a+2A)=3

24、a

25、2+4a・b~4b2=3a2+4a

26、A

27、cos

28、120°-4b\・・・(3a-2方)•(a+20)=3X9+4X3X4X(—*)-4X16=27—24—64=—61・反思与感悟(1)己知日，b的模及爲与b的夹角，直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于日与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用日・a=

29、a

30、2及数量积公式进行计算.跟踪训练1已知曰，〃均为单位向量，它们的夹角为60°,那么a+3b等于()A.^7C.屈D.4答案C解析*.*

31、a+3/?

32、2=(a+3Z?)J=a+6a•Z>+9Z?=1+6Xcos60°+9=13,/.

33、

34、a+3Z>=V13.命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知长方体ABCD-AxBxQIX中，A8=AA=2,AD=.F为侧面/〃的中心，尸为川〃的中点.试计算：(1)貶•莎；(2)亦•藕；(3)厉•足.解如图，设AB=a,AD=b,AAi—c,贝91曰

35、=Ic

36、=2,

37、b=4,a•b=b・c=c・8=0.⑴BC•ED=b・l~(c—a)+b]=A

38、2=42=16.(2)菸、•AB=yc—a+^b^・(a+c)=c2—

39、a

40、2=22—22=0.⑶鬲・花;=

41、(c—a)+

42、A・(詁+J=#(—$+

43、〃+c)・隔+J=—扣

44、'+扌方f=2.反思与感悟两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练2已知正四面体创％的棱长为1,求：(1)(OA+OB)・(CA+Cff)；(2)OA+