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《2018年秋高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算314空间向量的》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标：1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(难点)3.常握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法.(重点)［自主预习•探新知］1.空间向量基木定理如果三个向量日，b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组匕，y,z｝,使得p=xa+yb+zc.英屮｛日，b,c｝叫做空问的一个基底,a,b,c都叫做基向量.思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组匕，y,刃是否唯一？［提示］(1)不能.因为0与任意一个非
2、零向量共线，与任意两个非零向量共面.(2)唯一确定.2.空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点。的三个两两垂直的单位向量,记作3,釦ft空间直角坐标系以&,a,0的公共起点。为原点，分别以&,0,处的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量Q，存在有序实数组｛"y,z,使得p=xe｝+ye>+ze^则把y,z称作向:ftp在单位正交基底&,a,&下的坐标，记作p=(x,y,z)［基础自测］1.思考辨析(1)若｛曰，b,c｝为空间一个基底，且p=xa~~yb+zc.若p=0,则x=y=z
3、=Q.()(2)若三个非零向量b,Q不能构成空间的一个基底，则8,b,c共面.()(3)以原点0为起点的向量测坐标和点"的坐标相同.()(4)若加(2,3,0),则点戶在平面就夕内.()［答案］⑴V(2)V(3)V(4)V2.在长方体ABCD~AMD、中，可以作为空间向量一个基底的是()A.AB,AC,ADB.AB,AA,ABC.DAyDCyDDD.AC>ACtCCC［由题意知，皿,屁，乔不共面，可以作为空间向量的一个基底.］3.设｛&,Q,自｝是空间向量的一个单位正交基底，a=4e—8e>+3es,b=—2e—^e>+7a,则方的
4、坐标分别为.【导学号：46342147】日=(4,一&3)6=(—2,-3,7)[由题意知2=(4,-8,3),方=(一2,-3,7).]［合作探究•攻重难］卜例I类型1
5、基底的判断(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且｛$,b,c｝是空间的一个基底，给出下列向量组:①{⑦byx,②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个⑵已知｛&,e,,d是空间的一个基底，且N=e+2o—创，亦=—3&+q+2©,0C=e^e~e>.，试判断｛方，亦，亦能否作为空I'可的
6、一个基底.［解］⑴如图所示，令a=AB,b=AA.c=AD,则x=AR,y=AD,z=AC,a+b+c=AC.rtl于S,B,C,〃四点不共面，可知向量x,y,z也不共面，同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面，故选C.［答案］c⑵设~OA=xOB+yOC,贝I」6i+2ft—e.i=x(—3ei+6>+2^)+y(ei+&2—a),即e+2ei~e^=(y—3x)e【+{x+y)ei+(2x~y)ay—3%=1此方程组无解.・•.7、为空间的一个基底.［规律方法］基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.(2)方法：①如果向量屮存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.②假设a=Ab+pc,运用空间向量基本定理，建立A,“的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.［跟踪训练］1.若｛日，b,c｝是空间的一个基底，试判断｛a+b,b+cfc+a｝能否作为空间的一个基底.［解］假设a+b,方+e,c+a共面，则存在实数久，“，使得a+b=(A+c)
8、+P(c+a),即日+b—口a+久b~~(久+〃)CV(afb,c｝是空间的一个基底，:・a,b,c不共面.1=“,・•「1=久，此方程组无解.0=A+pf即不存在实数人，〃，使得$+〃=久(方+c)+〃(c+$),a+b+c,c~~a不共面.故｛a+b,b+c.c+a｝能作为空间的一个基底.［类型2
9、用基底表示向量如图3-1-29,四棱锥P^OABC的底面为一矩形，/为丄平面加％；设OA=a,OC=b,OP=c、E,尸分别是/匕/为的中点，试用乩b.c表示：BF,BE,AE,EF.［思路探究］图3-1-29利用图形寻找待求向量与a,b,c的关系利用向
10、量运算进行分拆直至向量用a,b,c表示f1—1ff111[解]连接
