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《2018年秋高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算311空间向量及》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算学习目标：1.理解空I'可向量的概念.(难点)2.常握空间向量的线性运算.(重点)3.常握共线向塑定理、共而向量定理及推论的应用.(重点、难点)［自主预习•探新知］1.空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.(2)长度或模：向量的大小.(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示;②字母表示法：用字母b,c,…表示；若向量$的起点是力，终点是〃，也可记作:2.几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等$的相反向量：—a庞的相反向量：
2、药相等向暈相同相等a=b3.向量的加法、减法空间向量的运算加法OB--0A+-OC=a+bCQ0aA减法CA—~dA—'OC=a~b加法运算律(1)交换律：a+b=b+a(2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c)4.空间向量的数乘运算(1)定义：实数久与空间向量曰的乘积人a仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.当人＞0时，人曰与向量a方向相同;当久〈0时，久曰与向量曰方向相反;当人=0吋，Aa=0；心的长度是2的长度的丨切倍.(1)运算律：①A{a+t>)=Aa+AA；②A(jja)=(人u)a.5.共线向量和共面向量(1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线
3、互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.②共线向量定理：对于空间任意两个向量⑦b(bHO),a//b的充要条件是存在实数久使a=Ab.③点戶在直线〃〃上的充要条件：存在实数十，使加茹+屁(2)共面向量①定义：平行于同一个平面的向量叫做共而向量.②共面向量定理：若两个向量a，方不共线，则向量p与向量a，方共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(尢y),使+b.③空间一点P位于平血力比内的充要条件：存在有序实数对匕,对空间任意一点0,有加荡+角+尿思考：(1)空间屮任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点0和不共线的三点力，B,G满足方三議+莎+范;则点”与
4、点A,B,C是否共面？［提示］(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量.—►1―►1—►1—►—►—►1—►—►1—►—►(2)由OP=-OA+-OB+-OC^OP~OA=-{OB~0A)+§(力一OA)—►11—►即AP=-AB+-AC,因此点P与点儿B,Q共面.［基础自测］1.思考辨析(1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量.()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量.()(3)如果帀=方+胁，则只A,〃共线.()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量.()［答案
5、］⑴V(2)X(3)V(4)X1.己知空间四边形昇彩中，~AB=a,~CB=b,7d=c,则乔=(C.—a~~b~~cCXD=^B+lA+7D=^CB-7B+7l)=-a+b+C.]1.在三棱锥A・BCD中，若△救是正三角形，卫为其中心，则殛+77反?一;;庞一乔化简的—►1—►—►3~—►—►—►—►—►1—►30[延长加交边虑于点尺则有AB+-BC=AF9-DE+AD=AD+DF=AF.故AB+~BC--DE-AD=O.]［合作探究•攻重难］［类型［I卜例空间向量的有关概念(1)给出下列命题:①若a=bf则a=b或—5②若向量$是向量b的相反向量，贝i
6、a=b③在正方体ABCD~ABCD中,AC=A,G④若空间向量加，n,p满足也=〃，n=p＞则227=p.其中正确命题的序号是.(2)如图3-1-1所示，在平行六面体ABCD-A1B'CD9中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有:与向量心相反的向量有.(要求写出所有适合条件的向量)图3-1-1［解析］(1)对于①，向量◎与&的方向不一定相同或相反，故①错;对于②，根据相反向量的定义知I引=丨引，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC=AG,故③正确;对于④，根据相等向量的定义知正确.［答案］②③④⑵根据相等向量的定义知，与向量畀庐相等的向量有莎，厉，历.与向
7、量川6相反的向量有bV,嬴67?,CF.［答案］BB',CC',DD'Bf~A',BA,~CD,C^D'［规律方法］解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.(2)注意点：注意一些特殊向量的特性.①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性。②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等,方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.［跟
