2019年1月北京市东城区高三数学文科期末试卷及答案

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1、东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）2019.1本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）下列复数为纯虚数的是（A）（B）（C）（D）（3）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在射线上，则的值是（A）（B）（C）（D）（4）若满足则的最小值为（A）（B）（C）（

2、D）（5）执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的值为（A）（B）（C）（D）（6）设为实数，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（A）2（B）（C）（D）3（8）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知两次地震里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为和，则的值所在的区间为（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共

3、6小题，每小题5分，共30分。（ 9 ）已知向量，，若，则.（10）在中，已知，，，则.（11）若等差数列和等比数列满足，，试写出一组满足条件的数列和的通项公式:，.（12）过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线，交双曲线于两点，为坐标原点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率_________.（13）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；②9天

4、后，小菲的单词记忆保持量低于；③26天后，小菲的单词记忆保持量不足.其中正确的结论序号有.（注：请写出所有正确结论的序号）（14）已知函数，.若，都有，则a的最大值为______；此时ω=_______.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）已知等差数列满足,.(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若,求数列的前n项和.（16）（本小题13分）已知函数.(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)求证：对于任意的，都有．（17）（本小题13分）某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学

5、生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在，现从课外阅读时间在的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数.（18）（本小题14分）如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，为中点.（I）求证：平面；(II)求三棱

6、锥的体积；（III）设平面与直线交于点，求线段的长.（19）（本小题13分）已知函数，a∈R．(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)求的单调区间．（20）（本小题14分）已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点，直线与椭圆的另一个交点为.（I）求椭圆的方程；（II）当时，求的面积；（III）证明：直线与轴垂直.东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）D（3）A（4）B（5）B（6）A（7）D（8）B二、填空题（共6小题，

7、每小题5分，共30分）（9）（10）（11）,（答案不唯一）（12）（13）①②（14）4，三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）设的公差为,因为，所以.所以解得.所以……………………………..7分（Ⅱ）由（I）知，，所以的前n项和为==.……………………..13分（16）（共13分）　解:（Ⅰ）.……………………………..5分所以的最小正周期.……………………………..7分（Ⅱ）因为，所以.所以.所以所以.所以对于任意的，都有．……………………………..13分（17）（共13分）解：（Ⅰ），即课外阅读时间不小于小时的

8、样本的频率为.因为，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于小时的学生人数为.…………………………………………………………………………………………