混沌控制与反控制若干问题研究

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摘要浙江大学博士学位论文混沌现象是一种确定性的非线性运动，它的运动轨迹非常复杂但又不完全随机。混沌运动具有许多特殊的性质，如对初始条件和系统参数的微小变化极端敏感、运动相空间轨道有界但却有着正的李雅普诺夫指数、具有有限的KolIDogorov—Sinai熵、类连续的功率谱、常伴随分岔和分形的出现等。因此，混沌的研究具有特别重要的意义。在混沌有害的时候。要设法快速抑制混沌运动。本论文的一个重要研究分枝是混沌系统的控制和应用，重点研究了Lorenz系统族的约束控制、多吸引子混沌系统的迁移控制、电力系统混沌振荡的自适应补偿控制。本研究分枝包含以下内容：1．对混沌控制的研究现状进行综述，指出现有方法的优缺点和混沌控制的发展趋势。2．Lorenz系统族的约束控制。该方法根据最小值原理为Lorenz系统族设计约束控制器，将相应Lorenz系统族中混沌系统的两个不稳定的平衡点镇定：针对控制作用施加的三个不同位置，推导了最优控制的三种不同的切换控制曲线。所得到的控制规律前两个是bang_bang控制，第三个是bang-bang控制和逻辑切换相结合的形式，通过施加闭环控制后对系统状态变化的仿真结果证明了该方法的正确性和有效性。3．多吸引子混沌系统的迁移控制。该方法针对典型多吸引子混沌系统Ne叭on-Leipnik系统，运用无源化控制技术，结合逻辑切换手段，实现了三方面的控制功能：将混沌吸引子从相空间的任何一点驱动到原点；上下两个混沌吸引子内的不稳定平衡点的镇定；混沌振荡从一个吸引子控制到另一个吸引子。所得到的控制器结构简单，实现容易。4．电力系统混沌振荡的自适应补偿控制。将电力系统混沌振荡的非线性信号用微分跟随器实时提取对电力系统进行实时自适应补偿，并在此基础上设计线性控制器稳定闭环系统。与其它混沌振荡控制方法相比，该方法具有结构简单，物理实现容易，实时性强，控制效果好，调节灵活等优点。特别值得一提的是由于微分跟随器对电力系统混沌振荡信号的准确实时提取亦可为电力系统故障诊断的智能化提供技术支持，所以该I 塑璧塑坚查兰苎主兰垒丝苎研究成果易与其它研究成果集成；随着对混沌本质的深入认识，在许多场合下混沌态被发现具有无可比拟的优点，因而有意识地产生新的混沌吸引子、增强现有混沌运动或使非混沌运动系统精确跟踪已有的参考混沌运动模式就具有了特别的意义。本论文的另一个重要研究分枝就是结合现代控制理论的最新成果，在对混沌运动充分把握的基础上实现不确定系统的鲁棒混沌反控制，本研究分枝包括以下几方面的内容：1．对混沌反控制的现状和已有的混沌反控制手段进行综述，分析它们各自的优缺点，指出通过受控系统对己知混沌参考系统精确跟踪实现混沌反控制的意义。2．非线性不确定系统鲁棒混沌反控制的非线性比例积分微分控制(NPID)方法。该方法借助微分跟随器和数值微分环节分别提取驱动混沌动态系统和受控系统输出的微分信号，并在此基础上根据时间加权的误差绝对值积分(ITAE)最小的原则设计非线性比例积分微分控制器，使受控系统输出良好跟踪驱动混沌系统输出，实现非线性不确定系统的鲁棒混沌反控制。将混沌反控制的适用范围由离散时间系统拓展到连续时间系统．由参数结构已知的线性稳定系统拓展到参数结构未知的非线性稳定和不稳定系统。分析和仿真结果表明，微分跟随器和数值微分环节可以对驱动混沌动态系统和受控系统的微分信号进行高精度实时提取，控制策略具有鲁棒性，控制器的设计具有不受李雅普诺夫指数配置求取困难和微分几何控制器设计计算复杂性的约束。3．非线性不确定系统鲁棒混沌反控制的逆系统方法。该方法借助给定和输出微分跟随器分别提取已知混沌参考系统和受控系统的输出轨迹和输出轨迹的微分信号，并依照跟踪性能要求设计期望的动态系统，在上述基础上根据逆系统方法得到受控系统确定阶的逆，使受控系统输出良好跟踪已知混沌参考系统输出。将混沌反控制的适用范围由离散时间系统拓展到连续时间系统，由参数结构已知的线性稳定系统拓展到参数结构未知的非线性稳定和不稳定系统；结果表明，输出微分跟随器对受控对象动态特性不确定性可以进行高精度实时提取，控制策略具有鲁棒性，控制器设计不受李雅普诺夫指数配置求取困难和受控系统模型、参数不确定性的约束。4．高阶非线性不确定系统的混沌反控制。根据微分同胚理论并借助给定高阶微分跟随器由己知混沌参考系统的单标量输出得到混沌参考系统的状态；借助输出高阶微分跟随器得到受控系统的输出轨迹和输出轨迹的微分信号；并依照跟踪性能要求设计控制器：使受控系统良好跟踪已知混沌参考系统的微分同胚，实现一类高阶非线性不确定系统Il 塑蔓塑坚盔兰塑圭兰垡丝苎的鲁棒混沌反控制，将混沌反控制的适用范围由离散时间系统拓展到连续时间系统，由参数结构已知的线性稳定系统拓展到参数结构未知的非线性稳定和不稳定系统，由低阶系统推广到高阶系统。高阶微分跟随器对混沌参考系统状态和受控系统动态特性不确定性高精度实时提取保证了控制策略的鲁棒性，控制器的设计具有不受李雅普诺夫指数配置求取困难和没有其他设计方法对受控系统模型、参数强烈依赖的缺点。计算机仿真证实了所建议方法的正确性。关键词：混沌控制，逻辑切换，约束控制，最优控制，无源化控制，自适应补偿控制，混沌反控制，微分跟随器，非线性比例积分微分控制，逆系统方法，鲁棒控制III 竺!型!!塑鋈查兰竖圭兰垡笙奎ABSTRACTChaosis0netypeofcDmplexdynamicbehaviorsmatpossesssomeVerySpecialfe蜘1res，suchaSitsex仃emesensitivit)rtotlnyva^ationsofim吐a1conmdonsandsystempar锄eters，丽mboulldcdorbitsbutpossessingaposmVeleadingLy印u110vexponent，州mafiIliteKoImogoroVSirmien订opy，acontinuouslikepowerspectmmanda舳ctionaltopologicaldimensionetc．Onen，chaoscoexistswhhsomeomercompleXdynamicalphenomenasuchasbif证cationsa11d曲ctals．So，itisimpom呲todoresearchworkaboutchaossys把m．ChaosshouIdberestrainedoreliminatedquicHywhenitisharm觚．Oneoftherese甜chbranchesof也isdissemtionisaboutchaoscon咖1anditsapplications，emphasisisputoncons订ainedcon廿01ofLorenzsystcmf豳ilMmetransfcrcontr01ofchaossystemwi也multiplestrangechaosattractorsandadaptiVecompensationcon仃olofchaososcillationinpowersystem；whilethefollowingaspectsarefollowed：1Sunreyisprovidedtoexplaint11estateofmeartofnlechaoscon订ol，whereproa11dconofthealreadyexistingchaoscontrolmeansarereported．Thepromising缸endOfchaoscoIm01isaIsoputforwardtoinitiatet11erelateddisseItationwofk．2Cons仃ainedcontrolofLorcnzsystem缸nilyisrealizedthrouglltheMinimurnPrinciple．Thetwoequilibriaamliatedwithoneoft11ecertainmemberofLorenzsystemfamily，whichessentiallyuIlstable，canbestabilizedbymeconstrainedcontroIleLIncaseofcl撕tyandcompleteness，t11eallmreedi腩rentswitchingsurfacesorcurveswhicharedependont11eimposedpositionsofthecomrolsigllalarederived锄dtheresultedm，ocontmIlawsareprovedtobebang_ballgones，aIldthetllirdcontrolIawisbaIlg-bangcontr01wi也logicswitclling．Simul“onresultsof也e恤Insientprocessof也estatesof也eclosedcormOlSystemareprovidedtodemons恤temeed色ctiVenessoft}lesuggestedscheme．3T‰sfercomrolofchaossystcm嘶tllmultiplechaosstrallgeattractorsisrea王izedthroughpassivee删valence．111efimls呲tureof“scor帅Ilerforequilib池stabilizationhasasimplefeedbackf0珊．Usmgapassivcmetllod，weprovemestabiljtyoftheclosedloopsystem．BasedonthccontrollerderiVed厅om也epassiveprinciples，t№edi疗erent蛔ndsofchaoscon廿oloftllesystemareinVestigated，respectively：tlleorigincoIl仃01forwhichcomrolaimstoforcet11eIV ABsTRAcT浙江大学博士学位论文chaosrnotionse仕lingdownt0meong_m舒omthe吼itraryposi!t：ionof也e叠}啪eSpace；in心}啪actorchaoscontrolforwhichcon订ol妇stostabili函emeequnibriumpointsonlybelongto也eupperchaosat虹actorOrthelowerchaosatlractorand也einter蛐actorcontr01forwhichcontrolaimstoco础lmechaososcillation蕾romonebasinof也eattracto“oanotherone．Boththeoreticalresultsa11dsimulationveri母幽evalidj母0fmesuggestedm甜10d．4Adaptivecompensationcon仃olofelec仃icalpowcrc}laososcillationsystemisrealized．Chaososcillatings协tesa11d廿1eirdi镌relltialsigIlalsareobtainedthrou曲觚bngdi虢rentiator，a11donaccoumof山她nonlinearinnuencesinducedbyperiodicIoaddisturbancearecompensatedad印tivelyAndtllen，liIleargtatefeedbackcon打olIawisdesignedtomakethesystemstable觚ds琥．Atlastsimulationisgiventoveri母tllevalidityandrigh恤essoftllesuggestedmemod．Witht11ethorou曲investigationofchaos，chaosisfoundwi也somespecialadVantages、vhichcan’tbecomparedwi也，sochaOsa11ti—comrolwhichaimstogeneratingnewchaosattractOrs，enhancettlealreadyexistingchaosa啪ctors，ormakethecontrollednonchaoticsystemtrac王(ingmeref毫rencechaossystempattempreciselyisbecolllingmoreandmoreimportant．A110merresearchbranchofthisdissenationispaiduponchaosa11ti-contr01ofu11cenainsystems，、vheremodemcon仃oltheoryandcomputersimulationareemployed；whilethefollowingaspectsareprobed：lSun，eyisgiventodescribethestamsofmechaosanti—comrola工1dthecharacteristicsofthealreadyeXistingchaosanti—controlmetllods，andmecontrolledsystemtmckingthechaosreferencesysteminaprecisewayisapmmisingchaosanti—connDlmethodisputforwardtoinitiatethere】ateddissenationwork．2Robustchaosarlti—co【心01oftheuncertainnonlinearsystemisrealizedbyNonline盯ProportionalInte铲alDi娲rential(NPID)co姗01．Di岱erentialsignalsof也edrivingchaossystemandtheco眦olledsystemwereob&ainedby缸acking出fferentiatorandInHneTicalderivation，respectively．NPIDcomrollerwasconstmctedaccordingto也eprincipleofthemiIlim啪oftheintegralofthe-wei曲tedabs01uteerror(ITAE)basedontheavailabledifferentialsignalstoforcethecor血olledsystemtofollowmechaotictrajecto巧oft11egiVendriVingsystemi11aIl、vellamngedway．Chaos舭ti-cOn仃01、Vasnotonlyextended丘omdiscretesystemto∞ntinuoussy曲embutalsofromlinearstablecontinuoussystemwmlclears仃uctureandpar锄eterstononlinearsystemswim11tlcertain廿esofsⅡuctIlrea11dpar锄eters，whichcanbestableornot．Itcanbeconcluded矗om也eaIlalysisandsimulationresllltst11atdi丘brentialsignalsofmedr主VingchaOssystema11dthecoImolledsystemcanbeobtainedpreciselyinvjrnJeoftrachngdi虢rentiatorandnum鲥calderiVadVe，respectiVely；thesuggestedcomrollerdesignV 些!旦坠!!塑垩盔兰苎主兰垡堡奎methodis矗eeofthecons廿aintsofLyapunovexpone】毗sallocation，Whichiso缸ndi伍culttogeta11ddiffcrentialgeome仃ycontr01，、vhichistoocornplicatedtobeemployed．3Robustchaosanti．controloftlleuncertaillnoIllinearsystemisrealizedbyiIlVersesys锄method．Out】蛳sand蛳rdi脚ialsignalsof也ereferencekIl伽mchaossystemand也ecorl订011ednon_c}laoticsystemareobta主nedinVirtueofthegiVena11dou印uttrackingdi肫ren廿atorsrespectively，也eexpectedsystemisdesi弘edaccordingto仃ackingperfonnance，thencertamordcrinverseOfthecOn仃olledsystcmiscOngmlctedbasedoninversesystem山eorytoforcemecontrolledsystemtofollowt11echa06ctrajectoryofmegivenreferencesystemina11wellarrangedway；onaccoumof也at，chaos毗ti—controlisextended矗omdiscretesystemtocontinuoussystem，丘omlinearstablecontinuoussyst啪withclearsmlctureandparameterstononlinearstableorunstablesystems谢mu11certainstnlctureandp跏eters；itcallbeconcluded‰theresultsthatmed”amicuncertaintiesof廿1econtrolledsystemc趴bedeternlinedinrealtimebytheoutputtrackingdi疗brentiatoLthesuggestedcontrollerdesignme廿10dis矗它eoftheconstraimsofLyapulloVexponentsallocation，whicho丘enbeingdimculttobeachieVeda11dunlike也eo也ercontrollersynthesisschemeswhichstrongIydependingontheprecisemodelandpar啪etersofthecomrolledsystem．4chaosanmcon订01ofcominuoushi啦ordernonlinearuncertainsystemsisrealizedtllrou曲击疗旨en妇fjn3meo埘。霉Afsm．sc8tesof撑蠡fencec680ssysfem8糟recoDs曲cfed姆di疗eren《甜homeomo曲ismandthegiVenhighorder缸acHngdi丘’erentiatorfromonesin91escalaroutputsignaI．Atthesametime，statesofthecomr01lednOn-chaoticsystemareobtainedinvirtueofoutputm曲ordertrackingdi±毪rcntiatorS疗omthesingIescaIarou印uts蟾naI．Thecontr01lerisdesignedaccordingtotheexpectedm屺kingperfbmlance．So，robustchaosaIlti-contr01ofaclassofhi曲ordernominearsysteIn、vi也u11certaintiesisrealized。OnaccouIltof也at，chaosanti—controlisnotonlyeXtendedfIDmdiscre忙systemtocontinuoussystembutalso矗omlowordersystemtohi曲ordersystem．Thesuggestedcontr01lerdesigflmethodis肫eoft11econstraintsofLy印unoVexponentsallocation，whichisoftendifhculttogetandtllecons仃aimsoft11eotllermetllodstronglydepends0naccumcyofmodelaIldpa础etersOfthecomrolledsystem．BotllcorrectnessandrobustnessofmesuggestedprojectareV嘶fiedbycomputersjmulation．Keywords：ChaosContr01，Cons仃咖edCon仃0l，Lo西cS谢tclling，0ptimuInCDntroI，Passivecontrol，Ada州VeCompensationControl，ChaosAnti-con旬rol，nackingDi圩ercntiator'N0minearProponionalIntegralDi船rentialControl，Inversesystemme也od，RobustcomrolVl 第一章绪论浙江大学博士学位论文本章介绍了混沌控制和混沌反控制研究的历史和现状及对论文研究工作的主要内容进行说明。1．1引言混沌现象是一种确定性的非线性运动，它的运动轨迹非常复杂但又不完全随机。混沌运动具有许多特殊的性质，如对初始条件和系统参数的微小变化极端敏感、运动的相空间轨道有界但却有着正的李雅普诺夫指数、具有有限的K01mogorov—sinai熵、类连续的功率谱、常伴随分岔和分形的出现等。近年来的大量研究工作表明，混沌与工程技术联系越来越密切，它在生物工程03、化学工程。1、电气和电子工程””、信息处理问、控制工程”卅、应用数学。3和物理学“”等领域都存在广泛的应用前景。从总体上来看，人们对混沌的研究集中在两个方面：第一当混沌运动对一些系统造成危害时，如混沌运动会使机电系统或电路系统产生不规则的振荡，造成系统运动偏离预定的目标，严重时甚至会导致系统解列等灾难性的后果。该种情况下，混沌运动是不受欢迎的，人们的研究目标是削弱直至消除混沌运动，即混沌的控制问题。第二当混沌运动有用时，如混沌运动用于保密通信等领域。该种情况下，混沌运动是人们期望的运动状态，人们研究的目标是增强已有的混沌运动，或使原本不混沌的系统混沌化，即混沌的反控制问题。目前，人们对混沌控制的研究较混沌反控制的研究成熟很多。但为保证论文本身的完整性和引出论文有关混沌控制方面工作的需要，本章仍然对混沌控制的历史和现状给予适当的描述。对混沌反控制历史和现状的描述较为详尽。 第一章绪论浙江大学博士学位论文1．2混沌控制研究的历史和现状自从OTT，GREBOGI和YORI【E于1990年提出一种控制混沌的参数扰动法后““(oGY方法)，人们对混沌控制的研究获得了长足的发展。oGY法的主要思路是混沌轨道的奇异吸引子中镶嵌着无穷多的周期或非周期轨道。选择一个不稳定的周期轨道作为控制目标，根据混沌运动的各态历经性，混沌运动迟早会从目标轨道的小邻域经过，这时对系统的某一参数，施加微量摄动，将混沌运动引导并稳定到目标轨道上。oGY法不需要对混沌运动的动力学特性有深刻的把握，采用小扰动，对原有系统的干扰较小，这是它的优点。但0GY方法需要足够长的时间来探测系统是否已经进入控制作用旌加的邻域，而且邻域大小的选择没有可以遵循的章法，这是它的缺点。在0Gy方法的基础上，PYRAGAs于1992年和1993年提出一种延迟反馈方法“’”1。该方法直接把系统的输出信号取出一部分经过时间延迟后再反馈到混沌系统中去对混沌系统进行控制。这种方法不需要明确了解目标周期轨道的有关细节，而且物理实施较为简单。但当混沌系统的雅可比矩阵在不稳定的固定点处有奇数个大于1的特征值时，该方法失效““，这是该方法的缺点。针对实际混沌系统可能存在的参数未知等情况，BER^iARDo设计了基于模型参考的混沌系统的自适应控制方法“““．自适应控制不但可以实现控制参数的灵活调节，而且也使得混沌控制的目标变得更加多样化，混沌控制的目标可以是周期运动、准周期运动甚至是混沌运动。但是，模型误差和噪声对自适应混沌控制形成了一定的瓶颈。模糊逻辑和神经网络等智能方法也被引入混沌控制中。如OscAR将模糊控制策略结合到间隙比例反馈控制中“”，系统控制允许参数的变化范围宽．LIN等为混沌系统提出一种基于遗传算法的再励学习神经网络控制器，它无需混沌系统的输出数据就可将系统稳定到高周期轨道上n83。最近，从简化控制规律和便于物理实现的角度出发，相继有人提出了混沌系统的无源控制“⋯3和约束控制。”的概念。它们的共同特点是控制作用仅施加在受控混沌动力学系统的某～个方程上，得到的控制规律也较为简单。无源控制在混沌控制领域的应用还存在需 苎二主堡堡塑垩查兰堕主兰垒丝兰要推广的问题，如无源控制如果用于具有多个吸引子的混沌系统，又需要做哪些改进?文献[22]中提到的约束控制仅停留在前两个方程上，如果约束控制作用加在第三个状态方程上，会有什么情况，作者没有回答。·从混沌控制的目标出发，近些年来，一种特殊类型的混沌系统一多吸引子混沌系统的控制引起了人们的注意[23—25]。多吸引子混沌系统由于初始条件的不同、系统参数的差异、外部激励信号强度或频率的不同，混沌系统的运动状态会滞留于不同的吸引子上。多吸引子混沌系统的出现，给混沌系统的控制提供了良好的发展机遇，使得混沌控制的目标不仅仅停留在原来的单个吸引子内部期望轨道的稳定(Intracontrol，Amongonlycertainchaosattractors)，而是有了更多的选择，即不同吸引子之间的控制(Intercontrol，BetweenDifferentchaosAttractors)。但目前得到的多吸引子混沌系统间的迁移控制规律太复杂，需要进一步简化。·从混沌控制发展的历史可以看出，混沌控制随着控制目标的多样化和使用手段的推陈出新而发展。从各种不同的视点出发，混沌控制的目标和方法各异，这恰恰反映了非线性特性具有异常丰富的动力学内涵和难以预测的特点。混沌控制的主要任务是，根据不同场合的需求，设法从纷繁复杂的非线性系统所产生的混沌行为中，挑选出任意所需要的周期轨道、非周期信号并实现它们的稳定控制。对混沌系统的运动控制，可以通过对其内部条件如参数、变量等的扰动，也可以通过旌加外部条件，如引入周期或非周期信号等”“1。1．3混沌反控制研究的历史和现状1．3．1引言在许多领域，混沌已被发现是有用的，如混沌的遍历性和类随机性可用于液体的充分混合。”、保密通信呻1；混沌系统的耗散性可以用于高维系统的降阶，如KERScHEN等研究了由两个永磁体和一个受两者箝位的金属悬臂梁组成的非线性电磁系统的降阶问题。”：混沌运动的非周期特性可用于改善混合电路系统的电磁兼容性脚1：混沌运动对初值微小变化的极端敏感性可用于小信号的高精度测量∞等。由于人们发现记录健康人的大脑活动的脑电波是混沌的，所以人们还可以应用混沌研究人的大脑活动状况汹⋯；混沌也曾被用来研究人的心脏搏动。”。因此，在一些混沌显得非常重要而且有用的领域，有目的的产生或强化混沌现象已经成为一个关键性的课题。3 第一章绪论浙江大学博士学位论文对任意给定的一个有限维的系统或过程，它可以是线性的或非线性的、离散的或连续的、时变的或时不变的、非混沌的甚至是稳定的，所关心的问题是能否设计一个可行的控制器，使受控的系统产生混沌现象，这就是混沌的反控制㈨，又称为混沌化控制、混沌的生成控制或混沌综合。混沌反控制解决了混沌源的实现问题。本节将针对混沌反控制的已有方法：基于李雅普诺夫指数配置的混沌反控制、对受控系统施加线性或非线性作用的混沌反控制、通过对已有混沌吸引子进行变异来实现混沌反控制、通过施加时滞反馈控制作用来实现混沌反控制、通过受控系统状态对已知混沌参考系统状态的精确跟踪来实现混沌反控制进行综述，并在此基础上对混沌反控制的未来和研究趋势进行展望。1．3．2混沌反控制方法一基于李雅普诺夫指数配置的混沌反控制当有界动力学系统的李雅普诺夫指数至少有一个为正时，那么就认为系统是混沌的。因此，通过改变受控系统的李雅普诺夫指数的符号，便可改变系统的运动状态，实现系统的混沌反控制。考察离散非线性动力学系统“删f‘+．=正(以)，≮E彤K一给定^至少在所研究的某点(如点=)局部邻域内连续可微，对系统(1．1)施加输入控制序列(‰}二％=最靠{乓)是最终要设计的n×一定常矩阵，使得4(1．2)(1．3)尼砟‘呸+以嘣牧¨一心以 第一章绪论浙江大学博士学位论文混沌。令受控系统在点z处的雅可比矩阵为‘(z)=‘’(z)+量，，=o，l，2，⋯．(1．4)定义乃=弓(％，⋯，叶)；‘(■)⋯厶(而)，它的第j个特征值为一(可I)，f=1⋯．，"√=o，1，2，．．从而出发的轨道{黾}乙的第f个李雅普诺夫指数．^(‰)=熙去lnlH(瓦’瓦)l(1．5)设计{B)乙使得所感兴趣的李雅普诺夫指数^(‰)满足o≤c≤五(‰)o，l(3．18)V=O，一≤o．I镇定《卸的外部输入信号为镇定《4’的外部输入信号为镇定《5’的外部输入信号为3．3仿真结果：搿冀“增舻3l耶0’}v=0，薯≥0．v=15《：’x婴+五《?，a=5)，毫>o，1}V=o'恐so．J(3．19)(3．20)(3．21)混沌Newton—Leipnik系统的参数取标称值，即y=O．4，仃=O．175。首考虑零输入状态响应控制和单吸引子内部的控制。对零输入状态响应控制，控制表达式(3．13)中的v：O，47、●●●●，●●，JO<乇∞=U03《丑+罐孔《黾"仉||=V 第三章多吸引子携沌系统的无源控制浙江大学博士学位论文(a)系统状态演化曲线(b)控制作用演化曲线图3-5将系统状态由(0．5。1，-2)调节到第二个平衡点，控制作用加入时刻t：100，五=2Fig．3—5Systemstatesregulatedto山esecondequilibri啪(a)系统状态演化曲线l(b)控制作用演化曲图3—6将系统状态由(O．5．1，一2)调节到第三个平衡点。控制作用加入时刻t=100．A：2Fig．3·6Systems蛳她sregulatcdtOtlletllirdequilibfjm5l 第三章多吸引子混沌系统的无源控制浙江大学博士学位论文321々O·'．20．5图3—7将系统状态由(o，5．一1，2)驱动到≈3’和毫”，驱动到毫3’以实线表示，驱动到Z2’以虚线表示Fig．3—7TheNe、VtoI卜LeipniksystemdriVen的m(o．5，一1，2)协《’蚰dz：2’dⅢm豳asoImImeandadonedline，respec廿Vely根据式(3．18)和式(3．19)，五=2时，经计算得到将混沌运动控制到平衡点《2’和#’时的外部输入作用v=o．5310。控制规律(3．13)可以分别将混沌系统的运动镇定到平衡点《41和x："，这时的外部输入作用v分别如式(3．20)和(3．21)。控制效果如图3—8、图3—9和图3—10所示。(a)系统状态演化曲线52 第三章多吸引子混沌系统的无源控制浙江大学博士学位论文口也∞f。口1．D15I=；IL：兰l‘'如'氨51"1mj'越1托5t嚣l∞51科'割5(b)图(a)的局部放大(c)控制作用演化曲线图3—8将系统状态由(0．5．1。一2)调节到第四个平衡点，控制作用加入时刻t=100．z=2Fig．3—8Systemstatesregulatedtotllefoumlequjlib血衄(a)系统状态演化曲线53 第三章多吸引子混沌系统的无源控制浙江大学博士学位论文O40、302，P0．1h蔓，0m1．02-D3：～～～～圜‘一：-⋯-⋯-⋯．⋯．一．⋯．⋯．⋯．=--l●●一108”011211411611B120122124126t(b)圈(a)的局部放大(c)控制作用演化曲线图3—9将系统状态由(O．5．1，一2)调节到第五个平衡点，控制作用加入时刻t=100，五：2F∞-9system蛐sregIll删to也efi兢equiliMm54 第三章多吸引子混沌系统的无源控制浙江大学博士学位论文321々0-1-20．5一√一一一1、一—c—一一O．5>＼／／彳一一≮。X1图3—10将混沌Ne眦on4eipnik系统由(o．5．一1，2)驱动到《5’和l“，驱动到《5’以实线表示，驱动到《4’曲虚线表示Fig．3-loTheNe、vton-Leipniksystemisdriven舶m(0．5，-l，2)to《5’and《”，itisdra啪aSasolidljlleandadottedljne，respecHvely根据式(3．20)和式(3．21)，五=2时，经计算得到将混沌运动控制到平衡点《‘1和《5’时的外部输入作用v=一o．2784。从仿真结果可以看出，采用无源控制规律，镇定到非平庸的平衡点象镇定到坐标原点一样容易，五的值越大，镇定到平衡点的速度越快。对于混沌Newton—Leipnik系统混沌吸引子之间的控制，控制效果示于图3—1l。≥厂、JIfN『llI【qJ『JN『Jl『1i『又 第三章多吸引子混沌系统的无源控!强鳃蓍廖邵丛图錾"业藿；3期萎贸的嬉动粕泰爿拜雨飙；j毒鼎黧埋嗡；l!l蚕溪羹萋蠢霎耋喜i§；辇蚕篓繁薹警善霎l霆!t；}嚆矗卿靶翮鋈名塞潭浮1j=勤浒融若拦莹暑事至艮静潞绺数凹。酬i讯馐池瞄Z羚鹕等哄凑裂藿麓荔銎藿ji*§■羞痢巅矧墨攀鍪曼霹缸兮妊醛霪豪蒜磊咎§!t时间的变化规律如图4-3所示。(a)发电机转子相对运行角(b)发电机转子相对运行角速度图4—3F面．29613时的过渡过程曲线Fig．4·3n柏sientcurvesatF卸．29613可见，为保证电力系统的安全稳定运行，对电力系统的混沌振荡不能等闲视之，需要寻找有效的策略来克服它所带来的不利影响。4．4自适应反馈控制4．4．1微分跟随器性的微分咝愿𧻓傥⒎制鳌＞哂卸ﺽ鬃钏倏9靥性的微分跟随器具有如下形式。“： 苎巴兰皇垄墨竺塑鎏堡蔓竺皂重查!!堡墼型塑坚查兰苎主兰焦丝苎存在于在小信号稳定域和Hopf分岔之外的结论。贾宏杰等“”和薛禹胜辱“”对电力系统混沌现象及研究状况进行了综述。由于混沌的长期不可预测性和它对电力系统安全的危害，因此电力系统的混沌控制研究受到了人们的重视。ABEDEH等“”和sRIVAsTAvAKN等073研究了消除电力系统连续倍周期分岔混沌的方法．王宝华等“”“1研究了电力系统混沌控制的逆系统方法和自适应反推控制方法。吴捷等㈨的综述文章给出了非线性控制理论在电力系统中的应用，其中也涉及到电力系统中混沌现象的控制，并明确指出电力系统的混沌控制才刚刚起步。本章提出另外一种电力系统混沌振荡的控制方法。其中，利用微分跟随器来在线提取电力系统混沌振荡的状态及其微分信号，对周期性扰动的非线性影响进行自适应跟踪补偿，对补偿后的线性系统设计线性控制器，进而实现了基于微分跟随器的电力系统混沌振荡的自适应反馈补偿控制，同时利用数值仿真，验证了该控制器的控制效果，理论和仿真都说明了所设计控制器的有效性。由于微分跟随器构造简单，所以本章所建议的方法较其它方法具有物理实现容易，灵活性强等优点，电力系统混沌振荡的实时提取也可为电力系统故障诊断的智能化提供技术支持。4．2简单电力系统在周期性负荷扰动下的数学模型简单电力互联系统的电路如图4—1所示。奄碑2舾蚕⑤趣卜≥邓明9图4一l中-l为系统s，的等值发电机；2为系统s：的等值发电机；3为系统s，的等值主变压器；4为系统s：的等值主变压器；5为负荷：6为断路器；7为系统联络线。未加控制作用时具有周期性负荷扰动的简单电力系统数学模型如下“1：甾巍以他·，式(4．1)中64 苎粤童皇垄薹竺塑鎏丝蔓塑自望壁!!壁丝塑塑垩盔堂苎主堂垡堡奎，(占，出)=吉(己+￡cos(卢f)一D∞一BsiIl占)．其中状态变量d，∞分别表示发电机转子相对运行角和发电机相对转速；参数己、只、日、D、只、∥分别为发电机机械功率、发电机电磁功率、等值转动惯量、等值阻尼系数、扰动功率幅值和扰动功率频率。在发电机的电磁功率和机械功率不变的情况下，若系统无周期性负荷扰动，则系统运行于稳定的平衡点：若系统存在周期性负荷扰动，系统的运行轨道既可为稳定的周期轨道，也可以为混沌态，或其它的不稳定运动形式。定义盯=鲁∥=昙，p=鲁，F=鲁，则，(6，∞)=吨sinJ一矽+p十Fco《所)．4．3周期性负荷扰动下的动力学行为假设a，丫’p不变，即发电机的电磁功率、系统的阻尼和机械功率不变。而，变化时，上述系统(4．1)就变成了一个含参数的非线性系统，当F不同即周期性负荷扰动的幅值不同时，系统呈现出不同的运动状态。若系统无周期性负荷扰动，则系统运行于稳定的平衡点；文献[80]详细说明了F变化时。系统的运行状态变化情况，系统可能运行于稳定的周期轨道，也可能运行于包含有许多不稳定周期轨道的混沌状态；甚至失去稳定。围4-2F-O．296时的相轨迹Fig．4-2Pll鼬elocⅢatF．劬．296首先考虑在H=100，Ps=100，D=2，Pm=20，p=1即毡=1，7=O．02，p=O．2，p=1时，考察Pc变化即F变化时电力系统的动力学行为。增大周期性负荷扰动的幅值到F：0．296时系统的相65 蔓堕兰皇查墨竺望塑塑蒸墼皇垩窒!!堡篓型塑垩查堂苎主堂垡丝壅陆=乇，k一脚忏v(f)+垮．。·2’式(4．2)中，T>O，v(，)是有界可积输入信号，毛和乞是输出信号，丑在平均意义下收敛于v(r)，乞弱收敛于VO)的微分。为减小在原点附近的颤振，实际应用时常选取饱和函数来代替公式(4．2)中的符号函数。由于发电机转速容易测量，所以选取发电机相对转速出为微分跟随器的输入信号，微分跟随器的输出气和乇分别渐近跟随珊和它的一阶微分。图4—4是在施加控制作用之前F卸．296时微分跟随器的跟踪效果，其中微分跟随器的参数T=500。图4-4微分跟随器的跟踪性能曲线Fig．4-4Perfb玎n锄ceof订ackingm位Ⅻ吼0r从图4—4可见，在经过短时间的调整之后，微分跟随器很快实现了对输入信号的微分信号的高精度跟踪。4．4．2反馈控制器设计施加控制作用后，周期性负荷扰动下受控简单电力系统变为：仨：孙舢．㈧。，式(4．3)可写为下面的形式：67 第四章电力系统混沌振荡的自适应补偿控制浙江大学博士学位论文[耋]=[：：][三]+[?]八J，∞，+[?]“．c。．a，控制作用。由两部分组成，其中之一来自微分跟随器的输出气取反，并由它来补偿含周期性负荷扰动的非线性项，(占，∞)，另一部分‰针对式(4．4)中的经过补偿后的线性部分设计状态反馈规律。其中经过补偿后的(4．4)的线性部分是：Ⅲ：姻心。．∽s，爿=[：j]，输入矩阵6=[0]．由于ct．s，的可控性矩阵嘶叫=㈧满秩，所以是状态完全可控的。取州_】}l嘲，则闭环系统的系统矩阵4=匕H对应的闭环系统特征方程为J2一岛J一向=0，为保证闭环控制系统的稳定性，可以选取其中的一组期望的特征根为一5(双重)，则，一如s一毛=0+5)2=O，由此可以得出k屯]=f．25—10】。4．4．3数值仿真以周期性负荷扰动幅值F=O．296情形为例对基于微分跟随器的自适应反馈控制用以电力系统混沌振荡的控制效果加以说明。在时间，=50s时加入控制作用，系统过渡过程曲线如图4—5所示。 ∞35柏柏∞55∞657075∞，(s)(曲发电机转子相对运行角(b)发电机转子相对运行角速度图4—5控制性能曲线F=0．296Fig．4—5CllⅣes蚰dercon们1atF=o．296从图4—5可以发现加入控制作用后受周期性负荷扰动的电力系统的混沌振荡被消除，在基于微分跟随器的自适应反馈控制作用下电力系统的状态可以被很好地稳定在安全运行范围内。4．5本章小结电力系统混沌振荡往往是电力系统发生发散振荡和解列的先兆，因此在电力系统出现过渡混沌振荡时引入适当的控制消除它的影响是一项有意义的工作。本章将电力系统混沌振荡的非线性信号用微分跟随器实时提取，对电力系统进行实时自适应补偿，并在此基础上设计线性控制器稳定闭环系统，与其它混沌振荡控制方法相比，本文的方法具有结构简单，物理实现容易，实时性强，控制效果好，调节灵活等优点。特别值得一提的是微分跟随器对电力系统混沌振荡信号的准确实时提取亦可为电力系统故障诊断的智能化提供技术支持∞1。研究结果表明，所建议的方法正确、有效。69 第四章电力系统混沌振荡的自适应补偿控制浙江大学博士学位论文参考文献【1】张伟年，张卫东．一个非线性电力系统的渑沌振荡．应用数学和力学，1999，20(10)；1094-1100【2】柳明，吴捷．微扰电力系统中的次谐及混沌轨道．电力系统自动化，2002。26(15)：9—14，44【3】【4】【5】【6】张强．电力系统非线性振荡研究．电力自动化设备，2002，22(5)：17．19YuYN．Elec仃icP矾y盯勖噶t哪Dyn叠mi璐．NewY研kIAcad锄icPr酷s，1983卢强，孙元章．电力系统非线性控制．北京：科学出版社，1993CHIANGHC，LIUCW，VARArYAPP，、ⅣUFF甜口f．Cha∞inaSimpleP0werS”tem．IEEETransacdonsonPowersystems．1993，8(4)：1407一1417【7】L兀Jcw，LuJ，THOMASRT“口fDetectionofThnsi蛆nych叠0tjc晰m鄹lnPowerSy咖msUsingReaI-TimePhasorMeasurem蛐ts．mEEn粕sactions0nPowerSystems．1994，9(3)：1285-1292【8】AJJARAPuv’LEEB．B疆ur曲廿onth∞ryand№appIi∞咖ntoⅡonlincardy岫micalphenome聃inaⅡelectricalpowersyst哪．mEETr锄sac虹oIlSonPowerSystcms．1992，7(1)：424-43l【9】RAJEsHKGPADIYARKR．Bifurc矗ti佃一naIys缸of叠也瞅nodepowersyst锄州thd“aikdmodeIs．IrltemationalJo唧alofEIcc城calPower柚dEner盱Sys埘ns，1999，2t(5)：375—392【10】LEEB，AJ”-RAPUVPenod—doHblmgmutetochaos岫叠nel∽trl∞Ipowers”te札IEEProceedin黟ofGeneration，TI吼smission锄dDis砸bution．1993，140(6)：490-496【ll】TETSuYAM，TAKASHIN，NA0皿￡oI．Chaotic0th'ctorwjthachamc岫risticoftortus．IEEETraIlsac廿oIlsoncircunsandsysIemsl：F、md锄entalTheoryandApplic撕。璐，2000。47(6)：944-948【12】贾宏杰，余贻鑫，李鹏．电力系统环面分岔与混沌现象．中国电机工程学报，2002，22(8)：6一lO【13】余贻鑫，贾宏杰，王成山．电力系统中的混沌现象与小扰动稳定域．中国辛；}学(E辑)，200l，31(S)：431～441。n4】贾宏杰，余贻鑫，王成山．电力系统混沌现象及相关研究．中国电机工程学报，200l，2l(7)26—30．【15】薛禹胜，周海强，顾晓荣．电力系统分岔与混沌研究综述．电力系统自动化，2002，26(16)9．15【16】ABEDEH，wANGHO，CHBNRC．鼬ili臻讹nofperMdoubhgb咖m讹nsand70 第四章电力系统混沌振荡的自适应补偿控制浙江太学博士学位论文impljeaHonsforcontrolofch_蜩．Phy蝴蚀D：N鲫1iil蜥。pbcnomerla，1994，70(1)：154-167SRIvASTAVAKNm岫inBH油0fd”●m．cb咖rc●吐oⅡ蛐dchaos蛔pa帆rsysl岫usInghctsdFric婚．IEEEn8地扯廿omoncjrcuits船dS”饵msI：FundameⅡ叫Th∞ryandApplic融iolls，1998，45(1)：72-78王宝华胀强，苏荣兴．电力系统混沌振蒋的逆系统方法控制．南京工程学院学报，2002，2(4)：8。11王宝华，张强，杨成梧，杨伟．电力系统瀹沌振蒋的自适应B·ck咖”ing控制．电力自动化设备，2003，23(11)：9—12吴捷，柳明非线性控制在电力系统中的应用，控制理论与应用，2002，19(1)：15—22韩京清，王伟非线性跟踪微分器．系统科学与数学．1994，14(2)；177．1s3．马玉良，赵光宙．电力系统故障诊断的智能化方法及其应用．电力系统自动化学报2003，】5(2)：98—10271】l】7890l2l兰ml邑阮 第五章非线性不确定系统的鲁棒混沌反控制浙江大学博士学位论文本章研究了非线性不确定系统的鲁棒混沌反控制，主要包括三部分内容：(1)基于非线性PID的不确定非线性系统的鲁棒混沌反控制；(2)基于逆系统方法的不确定非线性系统的鲁棒混沌反控制：(3)基于状态重构的高阶非线性系统的混沌反控制。5．1基于非线性PID的非线性系统的鲁棒混沌反控制5．1．1问题描述图5—1受控系统混沌反控制结构F蟾．5-lcorm-olledsysternch∞s卸t沁omrolg岫尬ture对连续非线性受控系统72 第五章非线性不确定系统的鲁棒混沌反控制浙江大学博士学位论文耳2屯，022吻，矗=，“，砭，⋯，％)+甜，_y=毛·(5．1)式中：x=融，屯，⋯，矗】1为系统的状态变量，y为系统输出，甜为外加控制作用，它来自非线性PID控制器的输出，参见图5一l。研究的目的是在，(而，x：，⋯，K)特性未知时，通过外加控制作用”的引入来实现受控系统(5．1)的混沌反控制。受控系统混沌反控制的结构如图5一l所示。非线性PID控制器的输入信号有三方面来源：驱动混沌动态系统的状态输出，微分跟随器的输出和受控系统的反馈信号。其中只∞取自驱动混沌动态系统的状态输出f，参见公式(5．2)。本节的驱动混沌动态系统选做AlIleod0系统o’21，它具有如下形式：；豢扔一q巩一啦砺+q菥，}现2瑰，I编2一％扔一q巩一啦砺+q研，Jf=碣．J(5．2)当系统控制参数％=一5．5，q=3．5，如=l，呜一1时系统处于混沌状态。这里，令只∞=f。微分跟随器理论上采用如下形式的二阶跟踪微分器Ⅲ：篡‰i毗训刊出。蛳}之=一^矗ign(毛一*O)+乇J乞J“2^f)．I(5．3)式中，M，o。为减小在原点附近的颤振，实际应用时一般选取饱和函数来代替公式(5．3)中的符号函数。采用微分跟随器来提取驱动混沌动态系统的状态输出的原因在于微分跟随器能跟踪不连续或不可微的输入信号。参数M取适当大的正数，它主要影响跟踪速度和跟踪精度，它的值越大跟踪效果越好，但过大则会给微分信号增加高频噪声。结合所研究问题的特点并考虑到混沌动态系统状态总是有界的，吖可取比驱动混沌动态系统状态变量绝对值最大值还大一个数量级的正数，本节选肘=50。微分跟随器的状态而渐近跟随"O)，状态乞则渐近跟随"O)的～阶微分，详细证明可参照文献[3]，[4]。这样微分跟随器(5．3) 墨至兰I!塑丝至塑塞墨竺塑!蔓望望星鎏塑塑坚查兰堕圭兰垒笙苎的状态而渐近跟随驱动混沌动态系统(5．2)的输出f，z：则跟随f的一阶微分。通过微分跟随器就提取了驱动混沌动态系统状态输出的微分，为非线性PID控制器的组成做好了准备。受控系统(5．1)在非线性PID控制器的调节作用下，可以实现对驱动混沌动态系统(5．2)状态输出f的有效跟踪，从而实现受控系统(5．1)的混沌反控制。5．1．2控制律的选取和实例研究控制律选取PID形式：“=毛4+如4十如呜，4=咒一而，呜=f4(f)df，4=只一而．(5．4)其中4是误差信号，而由y=一进行数值微分方法得到。控制器的参数按照ITAE指标‘，=¨4(r)m(5．5)进行优化选取，经过运算可得局=450，岛：900，岛=45。根据以上思路，不失一般性，以二阶系统为例，本节对如下的受控系统例I成功进行了混沌反控制。例1：受控系统跟踪性能曲线如图5—2所示。74+毪n+≥嘶．‘．吃y∑ 第五章非线性不确定系统的鲁棒混沌反控制浙扛大学博士学位论文(a)第一个状态变量的跟踪曲线(b)第二个状态变量的跟踪曲线75 第五章非线性不确定系统的鲁棒混沌反控制浙江大学博士学位论文(c)受控系统相轨迹图5-2系统z。跟踪性能FIg．5_2Tracldngperfb加∞ceof艺l为考查方案的普适性和鲁棒性，在控制系统结构和调节器参数不变的情况下本节又对另外两个不同的二阶系统例2和例3进行了混沌反控制研究，结果表明，它们呈现出与受控系统例1几乎完全一样的混沌行为。例2：而2屯，岛=志+周帆_y=^·76 第五章非线性不确定系统的鲁棒混沌反控制浙江大学博士学位论文(a)第一个状态变量的跟踪曲线(b)第二个状态变量的跟踪曲线7 第五章非线性不确定系统的鲁棒混沌反控制例3(c)受控系统相轨迹图5_3系统z：跟踪性能78浙江大学博士学位论文“+一霉+吒柏畸．一．屯y，，●●●●●●●●f●●●●●●【P厶 第五章非线性不确定系斑酯鲁曩羹爨自萌瓣臻江大学博±学位论文zljjj；篓藿iij||||||||||||||||j—j圣囊蓉囊≥主蓍jji．|羹≯_；iji：ji。ojjji√i≮≥蠢熏辇霉≥霉季薹羹霾疆萋签蒂蠡j娶荔丽醮鹜式鳋墅置翼矍露是酉璺蔓耪獭套；鄞登誊掣酮翮鞘甄非笔隧r驰镰UF-眦始朗蒌美霸蛳张qR旌旺，婴铬鳘笋糕哥彰删戳崩出斟蹩卷巨；裂贮”鞠避赐驹蠢规律设计期望的动态系统∑，按如下形式选取”o“-1y扣’+∑屈y‘’’=r‘“’+∑缈‘‘’式中：r‘“，y‘1’分别为，，y的f阶导数。定义e(r)=r0)一y(，)，则式(5．9)变为 第五章非线性不确定系统的鲁棒混沌反控制浙江大学博士学位论文5．2基于逆系统方法的不确定非线性系统的鲁棒混沌反控制5．2．1问题的提出和控制系统结构对连续非线性受控系统图5—5控制系统结构F逗．5-5Con打oJledsystemsnllcture∑■2屯，％2毛，矗=，(而，屯，⋯，‘)+“，y=五·(5，6)式中：x=(西，吐，⋯，‘)7为系统的状态变量，y为系统输出，，jR“一R为非线性不确定项，“为外加控制作用，参见图5—5。研究的目的在于厂瓴，而，⋯，矗)特性未知时，通过外加控制作用”的引入来实现受控系统(5．6)的混沌反控制。受控系统混沌反控制的结构如图5—6所示。，∥取自混沌参考系统(后面统一简称为参考系统)的输出f，参见公式(5．7)。81 第五章非线性不确定系统的鲁棒混沌反控制新江大学博士学位论文‰=p一厂(y，夕，．一，yo-1’)(5．13)线性部分控制器的方程就是式(5．10)。下面将结合实例说明上述方法可以做到受控系统(5．6)对参考系统(5．7)输出f轨迹的有效跟踪，从而实现受控系统(5．6)的混沌反控制。5．2．5实例验证为说明上述方法在结构如式(5．6)的连续不确定非线性系统混沌反控制中应用的可行性，现举例说明。例1i而=乇，墨：{鼍01，而H坫式中：，(五，恐)；砰sin(五)+屯sin(恐)，设期望的动态系统∑，为步+届夕+岛)，=，+届，+屁r，则期望的动态系统方程J2+属s+属=o．设上面的方程满足O+^)0+如)=0，式中：^>O，如>o，则届=^+如，岛=^五。所以例l系统的二阶积分逆为妒=，+届p一岁)+屁(，一力．例1的逆系统的方程为‰=夕一y2silly一多sin多，于是二阶积分逆的方程为‰=尹一y2siIlJ，一夕sin夕，滤波器的传递函数具有如下形式：丛生：趔llo(s)"+1(5．14)经调试，参数^，如，P，y分别取5，5，O．5和O．01。兼顾跟随的快速性和对高频噪声的抑制，微分跟随器式(5．8)中的参数r取10。跟踪性能如图5—6所示。84 塑戛妻!!堡堡至璧塞墨丝些!壁堂垦!!型坚壁鲢兰焦笙苎．(a)第一个状态变量的跟踪曲线‘b)第二个赦春变量的罐嗥曲线85 第五章非线性不确定系统的鲁棒混沌反控制浙江大学博士学位论文(c)受控系统相轨迹图5—6系统z．跟踪性能Fi昏5-6Trac啦pe出愀ofE1为考察系统的普适性和鲁棒性，在控制系统结构和参数不变的前提下，也分别对如下的三个受控系统进行了混沌反控制研究。∑：：拄巍瑚帆【y=■·式中：，(五，屯)=e1+hkJ。受控系统∑：的跟踪性能如图5—7所示。 第五章非线性不确定系统的鲁棒混沌反控制浙江大学博士学位论文(a)第一个状态变量的跟踪曲线(b)第二个状态变量的跟踪曲线87 第五章非线性不确定系统的鲁棒混沌反控制浙江大学博士学位论文(c)受控系统相轨迹图5—7系统∑：跟踪性能Fi95-7Tr蛐gpeffbm锄ceof∑2翠j羔巍㈦帆【y=西．热瓶班击+倜。受控系统∑3的跟踪性能如图5—8所示。8 第五章非线性不确定系统的鲁棒混沌反控制浙江大学博士学位论文(a)第一个状态变量的跟踪曲线(b)第=个状态变量的跟踪曲线89 苎亘童!!竺丝至塑塞墨竺箜苎苎望垫垦苎型：塑垩盔兰蔓主堂垡兰塞黧竺熬{1，⋯一．}cs．㈣f(r)=仇(f)，fE{1，⋯，以}．I式(5．16)中，叩EF是状态矢量，f是输出变量，^：卯。孵”是光滑非线性函数．假设混沌参考系统可以观测，当混沌参考系统的动态特性不知道时，可以运用相空间重构技术，由混沌系统的输出信号和它的各阶导数，根据微分同胚的理论，重构出下面的状态“2。埘：z(f)=(f(f)’乎(『)，⋯，f‘””(f))7=(仇(f)，厶(编(嘞，⋯，厶‘“4’(扔(f))’}(5．17)=(z1，z2，．．．，z。)7．J式(5．17)中￡表示李导数，即咖∽)=薹萼磐坳慨㈣重构的状态z满足下面的微分方程：2：彳Z+6①fZl．(5．19)式(5．19)中：彳=6=【oo⋯1rE胄”o(Z)=厶”(研(f))=厶4(绣卅(z))混沌参考系统选用Chua混沌电路系统，对Chua电路混沌系统进行了状态重构，Chua电路混沌系统可以用如下的状态空间表达式表示“”：式中口，屈，均大于零，口<6