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《倒向随机微分方程及其应用-indvesting》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第26卷第2期数 学 进 展Vol.26,No.21997年4月ADVANCESINMATHEMATICSApril,1997倒向随机微分方程及其应用彭实戈(山东大学数学系,济南,山东,250100) 摘要 本文将介绍一类新的方程:倒向随机微分方程.为便于理解,我们将首先通过与d常微分方程和经典的随机微分方程(It1o方程)的对比.并通过数理经济和数学金融学中的一个典型的例子来引入倒向随机微分方程.然后给出解的存在唯一性定理和比较定理.并介绍非线性Feynman2Kac公式,它给出了倒向随机微分方程的解与一大类常见的非线性偏微分方程(组)的解之间的对应
2、关系,从而为将来利用Monté2Carlo型的随机计算方法计算大量的偏微分方程开辟了新的途径.最后介绍倒向随机微分方程在金融数学中的应用.关键词 随机微分方程;倒向随机微分方程;非线性Feynman2Kac公式;非线性抛物型偏微分方程(组);非线性椭圆型偏微分方(组);金融数学MR(1991)主题分类34F05,60H10,93E03,90A091 引言为介绍倒向随机微分方程.我们需要对照一下经典的(即正向的)随机微分方程.正向微分方程的研究已有近半个世纪的历史,取得了辉煌的成果.它不仅有直接的应用背景,并且与其他数学分支如测度论、偏微分方程、微分几何、势论等
3、发生了非常自然的而且常常是意想不到的联系,互相促进,相映生辉.许多著名的数学家都为之吸引,在这一领域作出了杰出的贡献.其结果又反过来促进了其它学科的进展.近期一个典型的例子就是P.L.Lions等提出的非线性二阶偏微分方程的粘性解理论,其直接动力就是来源于他在随机微分方程和随机控制理论方面的研究.与这一进展形成鲜明对照的是:关于倒向随机微分方程的研究才刚刚开始,其线性情况由Bismut在1978年的文[2](也可见[3])提出,而非线性情况下的基本框架是由作者与Pardoux在1990年的文[32]提出并证明其存在唯一性的.非常巧合的是,在经济学的研究中,著名
4、经济学家Duffie和Epstein也独立地在1992年的文[12](也可见[13])中提出了这一方程的一个特别典型的情况.倒向随机微分方程的研究之所以大大滞后于正向随机微分方程,现在回过头来分析应不外乎以下两个原因:首先,正向随机微分方程与倒向随机微分方程在结构上有本质的区别.所以难以从正向随机微分方程出发猜想出倒向随机微分方程的形式.其次,从应用的角度讲.正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程,而倒向随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目标.从认识论的观点来看这一滞后也是自然的.收稿日期:1993207205.
5、修改稿:1995206227.国家自然科学基金资助项目.©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.98数 学 进 展26卷倒向随机微分方程的理论研究的历史较短,但进展却很迅速.除了其理论本身所具有的有趣的数学性质之外,还因为发现了重要的应用前景.著名经济学家Duffie和Ep2stein发现可以用它来描述不确定经济环境下的消费偏好(即效用函数理论——这是计量经济学的基础.见[12]).彭通过倒向随机微分方程获得了非线性Feynman2Kac公式,从而可以用来处理诸如反应扩
6、散方程和Navier2Stokes方程等众所周知的重要非线性偏微分方程组(见[38]).EiKaroui和Quenez发现金融市场的许多重要的派生证券(如期权期货等)的理论价格可以用倒向随机微分方程解出(见[19,18,14,15]).倒向随机微分方程引入了一种新的方程结构.为便于了解这一新理论.我们打算在进入其技术细节的讨论之前先看一下众所周知的常微分方程.考虑以下两个(定义于区间[0,T]上的)常微分方程:õX(t)=b(X(t)),0FtFT,(1)X(0)=x0,õY(t)=g(Y(t)),0FtFT,(2)Y(T)=yT.其中b(·),g(·)是给定
7、的函数.x0,yT是给定的数据.方程(1)的定解条件在初始时刻t=0给出,我们称它为正向常微分方程.(2)的定解条件在终了时刻t=T给出.我们称它为倒向常微分方程.在数学上(1)和(2)的处理方法基本上是相同的.例如,在一定的条件(如Lipschitz条件)下这两个方程都有唯一的解.但从应用的角度来讲,这两个方程已经有了显著的区别.事实上(1)的存在唯一性是说只要知道了系统的初始状态x0就可以确定的计算出系统在将来任意一个时刻t∈[0,T]的状态.与之相对,(2)的存在唯一则意味着我们能够计算出应该具备怎样的起点才能使系统达到预定的目标yT.以上两个模型(1)
8、和(2)实际上都假定了系统是不受随机干
