随机预设时间地倒向随机微分方程及其在违约风险的中地的应用翻译

《随机预设时间地倒向随机微分方程及其在违约风险的中地的应用翻译》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、随机预设时间的倒向随机微分方程及其在违约风险中的应用山东大学数学系，中国济南，250100ShigePeng,XiaomingXu概要在本文中，我们所关心的是随机预设时间的倒向随机微分方程及其在违约风险中的应用。这些由布朗运动决定的方程就像相互独立的鞅出现在一个违约设置。我们证明了这些方程有独特的解决方案和一个相对于他们解的比较定理。作为应用，关于相关零和随机微分对策问题我们得到了有关鞍点策略关键词：倒向随机微分方程，随机默认时间，比较定理，零和随机微分对策1介绍信用风险是一种最根本的，最古老和最危险的财务风险。特别是在最近几

2、年得到了不止一次的密切关注。信用风险研究最广泛的形式是违约风险，特别是在金融合同中一个人将要履行的责任和他相关于合同的义务不符合的风险。许多人，别莱茨基，贾罗，Jeanblanc，Kusuoka等等，都在研究这个项目。在一个违约市场,噪声是由布朗运动B以及一个命名为预设时间的随机时间决定。关于时间我们可以得到两种信息：一个来源于资产价格，由产生定义为，一个来源于默认时间，由随机过程：1定义为。这里应该注意的是一般而言，随机时间并不是一个F-stopping时间。我们所需要考虑筛选叫做扩大筛选G：=F∨H.。我们应该怎么处理这类

3、事件呢？一般而言，我们构建一个过程，命名这个F-风险过程为通过设t：=−ln[1−P(≤t)],这里P历史的概率测度。然后，通过Mt:=Ht−t∧定义的过程M，就是一个独立的G-鞅。假设是绝对连续的，则存在一个F-adapted过程，叫做强度过程，则。通过知名的Kusuoka鞅表示定理，其中规定，任何方可积鞅可被表示成关于B和M积分的和。我们知道在一个违约设置中，B和M是十分重要的。在研究违约设置中的效用最大化问题时，Bieleckietal和Lim-Quenez得出结论，价值函数是一个二次驱动程序。我们称之为随机预设时间的倒

4、向随机微分方程在本篇文章中。其实这种类型的倒向随机微分方程显得很自然。对于评估/对冲的问题，Bieleckietal.研究了偏微分方程方法[3]（见[4]），它假设违约市场是完整的并且主要资产的动力是由B和M驱动的线性的随机微分方程。他们的目标是复制一个偶然的赔偿，它取决于违约事件的发生与否。事实上，我们已经知道，关于偶然赔偿的理论在完全的无违约市场得评估可以表示在古典倒向随机微分方程方面（如黑斯科尔斯等人[5]，默顿[19]等）。这里，我们将详细的证明评价/对冲问题可以表示为一个随机预设时间的线性倒向随机微分方程用以下形式这

5、个可以被解决通过风险中性措施Q，Q等价与历史性概率P。事实上Q是如下形式然后我们得到，叫做的公平价格。总的来说，我们不知道（u、v、w）的精确值，但创建一个包含他们，这将导致模型的不确定性或模糊性（见[6,9]的详细信息）。然后在这种情况下，不是只有一个固定的风险中性概率测度Q，我们将面临一个不确定的子集的概率测度。对于这种情况，一个健全的方法来评估是由超级对冲战略取得的上限价格并且可由下计算出这里实际上是在虚拟市场的公平价格。在关于风险中性措施人之不明确的评估/对冲问题中，我们将面对非线性的随机预设时间的倒向随机微分方程（一

6、般形式）值得注意的是，为计算上限价格，发生器g由下给出这很容易冲第四节看到。我们感兴趣的是（1）问题的存在性和解决方案的独特性，即，是否存在一个独特的三重的G-适应的过程(Y,Z,)满足（1）。众所周知，在布朗过滤的框架内，倒向随机微分方程的一般形式是Pardoux-Peng[20]首先研究的。此后倒向随机微分方程的理论引起了很大的兴趣。一个有关此理论的重要成就是比较定理。这是由Peng发现并由Pardoux-Peng[21],ElKarouietal推广的。它允许我们在我们比较两个倒向随机微分方程的解的时候随时比较其终端的条

7、件和生成器。这些成果被广泛应用到无违约市场。例如，倒向随机微分方程首先被Hamadene-Lepeltier[11]应用于零和随机微分对策问题。自此以后，倒向随机微分方程和游戏问题的联系更加紧密。在本文中，我们将证明，在适当的假设下，倒向随机微分方程（1）具有独特的解。此外，我们还建立了一个比较定理。应当指出的是，这个比较定理需要一个额外的生成器条件相对于已存在的独特的定理，这是不同于经典案例的地方。作为一个应用，我们处理一个零和随机微分博弈的问题，这也可以被看作是一个不确定性模型的下的效用最大化问题。对于这个游戏，我们假设有

8、两个参与者，其优点是对抗性的。控制系统的动态是参与者J1（或J2）选择一个控制U（或V）。J1（或J2）的目标是最小化（或最大化）功能的耗费。本文中，我们将证明存在一个鞍点使得对于每一点（U、V）。本文按照如下方式组织：第2节中，我们列出了一些我们将使用符号和假设。在第3节，